Matematika-3

Tartalom

I. rész
ELSŐ FEJEZET. Vektorterek 1
1.1. n-dimenziós vektorok 1
1.1.1. A vektor fogalma 1
1.1.1.1. Speciális vektorok 3
1.1.2. Műveletek w-dimenziós vektorokkal 4
1.1.2.1. Szorzás skalárral 4
1.1.2.2. Vektorok összege 5
1.1.2.3. Vektorok különbsége 5
1.1.3. Általános vektorterek 6
1.1.3.1. Példák lineáris terekre 7
1.1.4. Altér 9
1.2. A vektortér bázisa 12
1.2.1. Vektorok lineáris kombinációja 12
1.2.2. Vektorok lineáris függetlensége 14
1.2.2.1. A lineárisan független ill. összefüggő vektorrendszer tulajdonságai 15
1.2.2.2. A tér dimenziója 15
1.2.3. A bázis 16
1.2.3.1. Báziscsere 19
1.2.3.2. Bázistranszformáció 22
1.2.3.3. A lineáris függetlenség vizsgálata bázistranszformációval 29
1.3. Skaláris szorzat (euklideszi tér) 31
1.3.1. Skaláris szorzat 31
1.3.2. Vektor abszolút értéke (hossza) 32
1.3.2.1. Egységvektorok 33
1.3.2.2. Nevezetes egyenlőtlenségek 34
1.3.2.3. Két vektor egymással bezárt szöge, két vektor merőlegessége 34
1.3.2.4. Két vektor távolsága 35
1.3.3. Az euklideszi tér 36
1.3.3.1. A folytonos függvények euklideszi tere 37
Az első fejezet összefoglalása 40
Feladatok 43
MÁSODIK FEJEZET. Mátrixok 45
2.1. A mátrix, és műveletek 45
2.1.1. A mátrix definíciója, speciális mátrixok 45
2.1.1.1. Speciális mátrixok 46
2.1.2. Műveletek mátrixokkal 49
2.1.2.1. Mátrixok összeadása és kivonása 49
2.1.2.2. Mátrixok szorzása számmal 50
2.1.2.3. Négyzetes mátrix előállítása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix összegeként 50
2.1.2.4. Mátrixok szorzása 51
2.1.3. Elemi transzformációk 53
2.2. Mátrix determinánsa 57
2.2.1. A determináns meghatározása kifejtéssel 57
2.2.1.1. Másodrendű mátrix determinánsa 57
2.2.1.2. Harmadrendű mátrix determinánsa 57
2.2.1.3. Az n-edrendű mátrix determinánsa 58
2.2.2. A determináns másik (klasszikus) definíciója 60
2.2.2.1. Az inverzió 60
2.2.2.2. A determináns 60
2.2.3. A determináns tulajdonságai 61
2.2.4. Az adjungált mátrix 65
2.3. A mátrix rangja 67
2.4. Négyzetes mátrix inverze 72
2.4.1. Az inverz mátrix kiszámítása determinánsokkal 72
2.4.2. Az inverz kiszámítása bázistranszformációval 74
2.4.3. Az inverz kiszámítása elemi transzformációkkal 78
A második fejezet összefoglalása 80
Feladatok 83
HARMADIK FEJEZET. 89
3.1. Lineáris egyenletrendszerek 89
3.1.1. Az egyenletrendszer fogalma 89
3.1.1.1. Egy példa 89
3.1.1.2. A lineáris egyenletrendszer általános alakja 90
3.1.1.3. Az egyenletrendszer mátrixos alakja 91
3.1.1.4. Az egyenletrendszer felírása az oszlopvektorokkal 91
3.1.2. Az egyenletrendszer megoldhatósága 93
3.2. A kvadratikus mátrixú inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei 94
3.2.1. Az egyenletrendszer megoldása az együtthatómátrix inverzének segítségével 94
3.2.2. A Cramer szabály 96
3.2.3. A Gauss-féle eliminációs módszer 101
3.2.4. A lineáris egyenletrendszer megoldása bázistranszformációval 108
3.2.5. A lineáris egyenletrendszer megoldása elemi transzformációk alkalmazásával 112
3.3. A lineáris egyenletrendszer megoldása nem kvadratikus együtthatómátrix esetén 114
3.3.1. Megoldási módszerek 119
3.3.1.1. A Gauss módszer nem kvadratikus együtthatómátrix esetén 119
3.3.1.2. Homogén lineáris egyenletrendszerek 122
3.4. Mátrix sajátértéke, sajátvektora 129
A harmadik fejezet összefoglalása 132
Feladatok 133
Irodalom 140

Témakörök