Matematika 11-12.

Tartalom

I. Hatvány, gyök, logaritmus.........................11
1. A racionális kitevős hatvány.........................12
2. A valós kitevői hatvány.........................16
3. A logaritmus.........................18
4. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek...25
II. Vektorok és trigonometria.........................31
1. Vektorok.........................32
2. A vektorok koordinátái.........................36
3. Szinusz és koszinusz.........................39
4. Tangens és kotangens.........................45
5. A szinusztétel.........................50
6. A vektorok skaláris szorzata.........................56
7. A koszinusztétel.........................60
8. Addíciós tételek.........................65
9. Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek.........................71
III. Nevezetes közepek és egyenlőtlenségek.........................79
1. Nevezetes közepek és egyenlőtlenségek.........................80
IV. Koordinátageometria.........................85
1. Mi a koordinátageometria?.........................86
1.1. A sík pontjainak koordinátageometriai jellemzése.........................86
1.2. A sík vektorainak koordinátái, geometriai jellemzése.........................87
1.2. A sík egyeneseinek koordinátageometriai jellemzése.........................93
3. A kör koordinátageometriai jellemzése........................103
3.1. A közös belső érintők egyenletének meghatározása........................110
3.2. A közös külső érintők egyenletének meghatározása........................111
4. A parabola koordinátageometriai jellemzése........................113
5. Egyéb ponthalmazok (Kiegészítő lecke)........................122
V. Kombinatorika és gráfok........................125
1. A skatulyaelv........................126
2. A teljes indukció (matematikai indukció)........................129
3.A véges halmazok részhalmazai........................132
4. A binomiális tétel és a Pascal-háromszög ........................140
5. A gráf fogalma, fokszámtétel, teljes gráf, körmérkőzések........................144
6. Összefüggő gráf, út, kör, részgráf, fa........................151
VI. Valószínűségszámítás és statisztika........................157
1. Véletlen jelenségek........................158
2. Valószínűségszámítás........................161
2.1. Az események........................161
2.2. A valószínűség........................162
2.3. A klasszikus valószínűségi mező........................165
3. A geometriai valószínűségi mező......................172
4. A feltételes valószínűség........................176
5. Az események függetlensége........................182
6. Valószínűségi változok, várható érték........................185
7. A valószínűségi váltatok szórása........................189
8. Speciális valószínűségi változók........................192
8.1. A binomiális eloszlású valószínűségi változó......................192
8.2. A hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó......................194
8.3. Egy, a statisztikában (is) használható egyenlőtlenség......................197
9. A nagy számok törvénye......................201
VII. Térgeometria......................205
1. Bevezetés......................206
1.1. A térelemek kölcsönös helyzete......................206
1.2. A térelemek hajlásszöge......................208
1.3. A térelemek távolsága......................210
2. Alkalmazások: mértani helyek, a tetraéder néhány nevezetes pontja..................213
3. A mértani testek......................215
3.1. Elnevezések és tulajdonságok......................215
3.2. A szabályos poliéderek......................219
4. Néhány további test......................221
4.1. A kúpok......................221
4.2. A hengerek......................222
5. A terület és felszín kiszámítása......................223
5.1. A téglalap területe......................223
5.2. A paralelogramma területe......................224
5.3. A háromszög területe......................225
6. Egyéb síkidomok területe......................226
6.1. A sokszögek területe......................226
6J. A síkidomok területéről általában (Kiegészítő lecke)......................227
7. A poliéderek felszíne......................228
7.1. A téglatest és a kocka felszíne......................228
7.2. A négyzet alapú egyenes gúla (piramis) felszíne......................229
7.3. A négyzet alapú csonka gúla felszíne......................229
8. Néhány egyéb test felszíne......................231
8.1. A forgáshenger felszíne......................231
8.2. A forgáskúp felszíne......................231
8.3. A forgási csonka kúp felszíne......................232
8.4. A gomb felszíne......................232
9. A testek térfogatának kiszámítása......................234
9.1. A téglatest térfogata......................234
9.2. A paralelepipedon térfogata......................235
9.3. A háromszög alapú hasáb térfogata......................236
9.4. A hasáb térfogata......................236
10. Néhány egyéb test térfogata......................238
10.1. A gúla térfogata......................238
10.2. A csonka gúla térfogata......................239
10.3. A poliéderek térfogata......................241
11. További testek térfogata......................243
11.1. A testek térfogatáról általában (Kiegészítő lecke)......................243
11.2. A forgáshenger térfogata......................243
11.3. A forgáskúp térfogata......................244
11.4. A csonka kúp térfogata......................245
11.5. A gömb térfogata......................246
12. Egymásba írt testek......................248
12.1. A beírt gömb......................249
12.2. A köré írt gömb......................250
12.3. Összetett feladatok......................251
1. Analízis......................256
1.1. Bevezetés......................256
1.2. A valós szám fogalma és két nevezetes axióma......................257
1.3. A valós kitevős hatványozás......................260
2. A számsorozatok......................262
2.1. A számsorozat fogalma......................262
2 .2. A korlátos sorozatok......................264
3. A monoton sorozatok......................269
4. A számsorozatok határértéke......................272
5. A határérték kiszámítása......................278
5.1. Műveletek konvergens sorozatokkal......................278
5.2. Számsorozatok határértékével kapcsolatos további ismeretek......................281
6. Nevezetes sorozatok......................282
6.1. A számtani sorozatok......................282
6.2. A mértani sorozatok......................285
7. Kamatszámítás, járadékszámítás......................292
8. Néhány szó a végtelen sorokról......................296
9. Függvények (valós függvények)......................299
10. A valós függvények nevezetes tulajdonságai......................303
11. A függvények folytonossága......................314
12. A konvex és konkáv függvények......................317
13. Az exponenciális függvény és a logaritmusfüggvény......................321
14. A trigonometrikus függvények......................324
15. A függvények határértéke......................327
16. A differenciálszámítás......................333
16.1. A pillanatnyi sebesség értelmezése......................333
16.2. Az érintőprobléma......................334
16.3. A differenciálhatóság fogalma......................335
17. A differenciálszámítás alkalmazásai......................342
17.1. Differenciálható függvények vizsgálata......................342
17.2. Konvex és konkáv függvények, inflexiós pont......................347
17J. Függvényvizsgálat......................348
18. Integrálszámítás: a határozatlan integrál......................351
19. Integrálszámítás: a határozott integrál......................355
20. A határozott integrál és a műveletek......................363
21. A határozott integrál alkalmazásai......................365
21.1. Terület számítás......................365
21.2. A kór területe (Olvasmány)......................368
21.2. A forgástestek térfogata......................368
22. Fizikai alkalmazások (Kiegészítő lecke)......................370
22.1. Az út......................370
22.2. A munka......................370
23. Két érdekes alkalmazás (Olvasmány)......................372
IX. Halmazok és logika......................373
1. Halmazok számossága......................374
2. Matematikai logika......................383
2.1. ítéletkalkulus......................383
2.2. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata...................387
X. Függelék...................388
Eredmények...................388
Szakkifejezések listája...................398

Témakörök