Matematika-1

Tartalom

I. rész
FEJEZETEK A DISZKRÉT MATEMATIKÁBÓL
ELSŐ FEJEZET. HALMAZOK 1
1.1. A halmaz és megadása 1
1.1.1. A halmaz fogalma 1
1.1.2. Halmaz és részhalmaza 3
1.2. Műveletek halmazokkal 5
1.3. Relációk 7
1.3.1. Rendezett /i-esek 7
1.3.2. Halmazok direkt szorzata 8
1.3.3. Relációk 9
1.3.3.1. Binér relációk 10
1.3.3.2. Ekvivalencia és rendezés 11
1.4. Függvények 13
1.4.1. A függvény fogalma 13
1.4.1.1. Az összetett függvény 14
1.4.2. A függvény inverze 15
Az első fejezet összefoglalása 16
Feladatok 17
MÁSODIK FEJEZET. MATEMATIKAI LOGIKA 25
2.1. ítéletek, ítéletkalkulus 25
2.1.1. Az ítélet fogalma 25
2.1.2. Logikai műveletek 27
2.1.2.1. Negáció 27
2.1.2.2. Konjunkció 28
2.1.2.3. Diszjunkció 28
2.1.2.4. Implikáció 29
2.1.2.5. Ekvivalencia 30
2.1.2.6. A logikai műveletek tulajdonságai (logikai azonosságok) 31
2.1.2.7. További logikai műveletek 32
2.2. Logikai kifejezések 34
2.2.1. A logikai kifejezés definíciója, értékének kiszámítása 34
2.2.1.1. A logikai kifejezés 34
2.2.1.2. A logikai kifejezések értékének kiszámítása 34
2.2.1.3. Logikai kifejezések igazságtáblázata 35
2.2.1.4. Tautológ logikai kifejezések 37
2.2.1.5. Változók helyettesítése 38
2.2.1.6. Logikai kifejezések ekvivalenciája 39
2.2.1.7. Logikai kifejezések egyszerűsítése 41
2.2.1.8. Duális logikai kifejezések 42
2.2.1.9. „Végtelen" logikai kifejezések 44
2.2.1.10. Funkcionálisan teljes művelethalmaz 45
2.3. Logikai kifejezések normálformája 46
2.3.1. Elemi kifejezések 46
2.3.2. Diszjunktív normálformák 47
2.3.3. Konjunktív normálformák 48
2.3.4. Perfekt normálformák 49
2.3.4.1. Primitív elemi szorzatok, összegek 49
2.3.4.2. Perfekt diszjunktív normálformák 50
2.3.4.3. Perfekt konjunktív normálformák 52
2.4. Logikai áramkörök 54
2.4.1. Néhány áramkör 55
2.4.1.1. Kapu-áramkörök 57
A második fejezet összefoglalása 60
Feladatok 61
HARMADIK FEJEZET. GRÁFOK 67
3.1. A gráf fogalma és jellemzői 67
3.1.1. A gráf definíciója 67
3.1.1.1. Izomorf gráfok 70
3.1.1.2. Multigráfok 70
3.1.1.3. Súlyozott gráfok 71
3.1.1.4. A részgráf 72
3.1.2. A gráfok fontosabb jellemzői 72
3.1.2.1. A csúcs fokszáma 72
3.1.2^2. A ciklikus rang 73
3.1.2.3. Út 73
3.1.2.4. Kör 74
3.1.2.5. Csúcs elérhetősége 74
3.1.2.6. Összfüggő gráf 75
3.1.2.7. A gráf bázisa 75
3.1.3. Fák 75
3.1.3.1. Rendezett fák 76
3.1.3.2. Részfák 76
3.1.3.3. Bináris fák 77
3.1.3.4. Fák bejárása 77
3.2. A gráfok alkalmazásai 79
3.2.1. Alkalmazások 79
3.2.1.1. A königsbergi-hidak 79
3.2.1.2. Közműhálózat 80
3.2.1.3. Elektromos hálózat 81
3.2.1.4. Logikai kifejezések ábrázolása 81
3.2.1.5. Alkalmazások az operációkutatásban 82
3.2.1.6. Gráfok a játékelméletben 83
3.2.1.7. Automaták megadása gráfokkal 84
3.2.2. Számítástechnikai alkalmazások 84
3.2.2.1. Aritmetikai kifejezések ábrázolása gráffal 85
3.2.2.2. Adatszerkezet (listaszerkezet) ábrázolása 85
3.2.2.3. Program ábrázolása gráffal 86
3.2.2.4. Adatbázisok 88
A harmadik fejezet összefoglalása 89
Feladatok 90
NEGYEDIK FEJEZET. FORMÁLIS NYELVEK 97
4.1. Alapfogalmak 97
4.1.1. Az ábécé és a szavak 97
4.1.2. Műveletek szavakkal 98
4.2. A formális nyelv 99
4.2.1. A formális nyelv fogalma 99
4.2.2. Műveletek nyelvekkel 100
4.3. Grammatikák 101
4.3.1. A grammatika definíciója 101
4.3.2. A grammatikák osztályozása 105
4.4. A szó szerkezetének ábrázolása fával 108
A negyedik fejezet összefoglalása 109
Feladatok 111
ÖTÖDIK FEJEZET. AZ AUTOMATÁK ELMÉLETE 117
5.1. Determinisztikus véges automaták 117
5.1.1. A determinisztikus véges automata fogalma 117
5.1.2. A determinisztikus véges automata definíciója 119
5.1.3. A determinisztikus automata megadása gráffal 121
5.1.4. A nyelvek és a determinisztikus automaták kapcsolata 124
5.2. Veremautomaták 124
5.2.1. A determinisztikus veremautomata fogalma 125
5.2.2. A veremautomata és a grammatikák kapcsolata 128
5.3. Turing-gépek 129
5.3.1. A Turing-gép definíciója 129
5.3.2. A Turing-gép további megadási módjai 134
5.3.3. A Turing-gép és a nyelvek kapcsolata 135
Az ötödik fejezet összefoglalása 136
Feladatok
HATODIK FEJEZET. KOMBINATORIKA 147
6.1. Permutációk 148
6.1.1. Ismétlés nélküli permutációk 148
6.1.2. Ismétléses permutációk 151
6.2. Variációk 152
6.2.1. Ismétlés nélküli variációk 152
6.2.2. Ismétléses variációk 153
6.3. Kombinációk 155
6.3.1. Ismétlés nélküli kombinációk 155
6.3.2. Ismétléses kombinációk 156
6.4. A binomális tétel és a Pascal-háromszög 157
A hatodik fejezet összefoglalása 159
Feladatok 161

II. RÉSZ
SZÁMHALMAZOK
ELSŐ FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA 169
1.1. A számfogalom 169
1.1.1. Az egész számok halmaza 169
1.1.1.1. A természetes számok 169
1.1.1.2. Pozitív természetes számok 169
1.1.1.3. Az egész számok 170
1.1.2. A racionális számok halmaza 171
1.1.3. A valós számok halmaza 171
1.1.3.1. Az irracionális számok 172
1.1.3.2. A valós számok I72
1.2. A valós számhalmaz néhány fontos tulajdonsága 173
1.2.1. A valós számhalmaz mint test
1.2.2. Rendezettség a valós számhalmazban 174
1.2.3. Az abszolút érték 174
1.2.4. Számhalmaz korlátossága 175
1.2.4.1. A felső illetve alsó határ 175
1.2.5. Az intervallum 176
1.2.6. Távolság 177
1.2.7. Környezet, nyílt és zárt halmazok 178
1.2.7.1. A környezet fogalma 178
1.2.7.2. Belső pont, határpont 178
1.2.7.3. Nyílt, zárt halmaz 179
1.3. Halmazok számossága 179
1.3.1. Megszámlálható halmazok 179
Az első fejezet összefoglalása 182
Feladatok 183
MÁSODIK FEJEZET. KOMPLEX SZÁMOK 187
2.1. A komplex szám fogalma 187
2.1.1. Műveletek komplex számokkal 188
2.1.1.1. Összeadás 188
2.1.1.2. Kivonás 189
2.1.1.3. Szorzás 189
2.1.1.4. Osztás 189
2.1.1.5. Komplex szám konjugáltja 190
2.1.2. A komplex szám mint gyök 191
2.1.3. A komplex számok ábrázolása 192
2.1.4. A komplex szám abszolút értéke 193
2.2. A komplex számok trigonometrikus alakja 195
2.2.1. Műveletek 196
2.2.1.1. Szorzat 197
2.2.1.2. Hányados 197
2.2.1.3. Hatvány 197
2.2.1.4. Gyök 197
2.3. A komplex szám exponenciális alakja 198
2.3.1. Műveletek 199
2.3.1.1. Szorzat 199
2.3.1.2. Hányados 199
2.3.1.3. Hatvány 200
2.3.1.4. Gyök 200
A második fejezet összefoglalása 201
Feladatok 203
HARMADIK FEJEZET. SZÁMSOROZATOK
3.1. A sorozat fogalma és megadási módjai 207
3.1.1. Műveletek sorozatokkal 210
3.2. Sorozatok konvergenciája 212
3.2.1. A határérték 212
3.2.2. A végtelen mint határérték 217
3.2.3. Műveletek konvergens sorozatokkal 218
3.2.4. A határérték kiszámítása 224
3.2.4.1. Polinomtörtek 224
3.2.4.2. A számláló és a nevező nem polinomok 227
3.3. Monoton sorozatok 231
3.4. Nevezetes sorozatok és határértékük 231
3.4.1. A mértani sorozat 233
3.4.2. Az e szám mint határérték 233
3.4.3. Az n-a sorozat határértéke 235
3.4.4. N-n határértéke 237
A harmadik fejezet összefoglalása 237
Feladatok 239
NEGYEDIK FEJEZET. NUMERIKUS SOROK
4.1. A végtelen sor és a konvergencia fogalma 243
4.2. Konvergenciakritériumok 243
4.2.1. Kritériumok általános sorokra 247
4.2.1.1. A konvergencia szükséges feltétele 247
4.2.1.2. A Cauchy-féle konvergenciakritérium 248
4.2.2. Pozitív tagú sorok 249
4.2.2.1. Összehasonlító kritériumok 249
4.2.2.2. A hányadoskritérium 251
4.2.2.3. A gyökkritérium 253
4.2.3. Váltakozó előjelű sorok 254
4.3. Abszolút és feltételes konvergencia 255
4.4. Műveletek konvergens sorokkal 256
4.4.1. Sorok összege 257
4.4.2. Sorok szorzata 258
4.5. Sorok összegének kiszámítása 259
4.5.1. A pontos összeg 259
4.5.2. Sorok összegének közelítő kiszámítása 259
4.5.2.1. Hibabecslés 260
A negyedik fejezet összefoglalása 262
Feladatok 263
Irodalomjegyzék 270

Témakörök