Lineáris algebra közelítő módszerei

Előszó

A lineáris algebra alapfeladatai a matematikában, természettudományokban és számos egyéb alkalmazás során gyakran fellépnek. Lineáris egyenletrendszerek megoldására például parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásakor van szükség. Állandó együtthatós elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásához szükségünk van a rendszer mátrixának sajátértékeire. Ha egy magasabbrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet-rendszert kell megoldanunk, a mátrixsajátérték-feladat egy általánosításának a megoldására van szükségünk. Mátrixok analitikus függvényei segítségével számos speciális állandó együtthatós lineáris első vagy magasabbrendű differenciálegyenlet-rendszer megoldását tudjuk felírni. Így szükséges olyan módszerek ismerete, melyekkel a lineáris algebra előbb említett feladatait minél gyorsabban, minél pontosabban tudjuk megoldani. Ezeknek a feladatoknak a megoldására ismerünk már módszereket az algebra, differenciálegyenletek tanulmányozásából, azonban ezeknek a módszereknek nagy része nem nyújt mást, mint a megoldás existenclájának biztosítását. Gyakorlati szempontból ezek a módszerek egyrészt a nagy műveletigényük, másrészt pedig a kerekítési hibák nagymértékű felhalmozódása következtében nem használhatók. E jegyzet célja olyan módszerek bemutatása, melyek a gyakorlati követelményeknek is megfelelnek.
A számítógépek megjelenése a numerikus matematikára is nagy hatást gyakorolt. A közelítő módszerek hatékonyságát felül kellett vizsgálni, hiszen kézi és számítógéppel történő számítások esetén a használt módszerekkel szemben más-más igényekkel kell fellépnünk. Míg kézi számolások esetén könnyen táblázatolható, könnyen ellenőrizhető, és minél kevesebb részeredmény leírását követelő módszerekre van szükség, addig számítógéppel történő számolás esetén könnyen algoritmizálható, ciklikus elemekből felépített, a kerekítési hibákra nem túl kényes, és természetesen itt is minél kevesebb művelet elvégzését igénylő módszert választunk. Az egyes módszerek bemutatásakor ezekről a szempontokról sem szabad megfeledkeznünk. Mivel az egyes algoritmusok kerekítési hibákkal való viselkedésének vizsgálata elég bonyolult feladat, ezért csak néhány eljárás esetén mutatjuk be a vizsgálati módszert. Vissza