Analízis I.

Tartalom

Előszó V
1. Bevezetés 1
2. Az analízis történetének rövid áttekintése 3
3. A valós számok axiómái 7
Különböző definíciók és jelölések 12
4. Számsorozatok
Számsorozat definíciója 15
Korlátos sorozatok 16
Sorozat felső, ill. alsó határa 17
Monoton sorozatok 18
Részsorozatok 18
Sorozat határértéke 19
Nevezetes sorozatok határértékei 22
Bernoulli-féle egyenlőtlenség 23
Konvergens sorozat tulajdonságai 25
Műveletek konvergens sorozatokkal 29
Egyenlőtlenségekkel kapcsolatos határértéktételek 32
Végtelenbe divergáló sorozatok 33
Torlódási pont fogalma 37
Bolzano-Weierstrass-tétel 39
Konvergenciakritériumok 45
Az (1+1/n)n sorozat határértéke 49
Valós számsorok 50
5. Egyváltozós függvények
Alapfogalmak 53
Folytonos függvények 58
Baloldali és jobboldali folytonosság 61
Intervallumon folytonos függvények 63
Összetett függvények fogalma 65
Inverz függvény fogalma 66
Elemi függvények folytonossága 69
Exponenciális függvény 72
Logaritmus-függvény 76
Irracionális kitevőjű hatványfüggvény 77
Trigonometrikus függvények 78
Ciklometrikus függvények 80
Elemi függvények 82
Véges zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai 83
Függvények határértéke 88
Szakadási helyek fajai 91
Végtelen határértékek 92
Határérték a végtelenben 92
6. Függvények differenciálása
Differenciálhatóság fogalma 95
Féloldali differenciálhányadosok 97
A differenciálhatóság szükséges feltétele 97
Differenciálhányadosra vonatkozó rendőrelv 98
A differenciálhányados és a differenciálhányados függvény meghatározása 99
Néhány elemi függvény differenciálása 101
Összetett függvény differenciálhányadosa 104
Inverz függvény differenciálhányadosa 104
Ciklometrikus függvények differenciálhányadosai 105
Logaritmusfüggvény differenciálhányadosa 106
Exponenciális függvény differenciálhányadosa 106
Rolle-tétel 108
Lagrange-tétel 109
Cauchy-tétel 110
Határozatlan kifejezések (1'Hospital-szabályok) 111
7. Magasabb rendű differenciálhányadosok
Leibniz-formula 117
Taylor-formula 118
8. Függvénydiszkusszió
Növekedés (csökkenés) feltétele 123
Pontban növekedés (csökkenés) feltétele 124
Derivált Bolzano-Darboux-féle tulajdonsága 125
Szélső érték létezésének elegendő feltétele 127
Szélső érték meghatározás magasabb rendű deriváltakkal 132
Konvexség és konkávság eldöntése 137
Inflexiós pont kritériumai 139
A függvénydiszkusszió általános sémája 141
9. Primitív függvény
Primitív függvény meghatározások 145
Helyettesítéssel való integrálás 147
Parciális integrálás módszere 150
Rekurziós formulák 153
10, Határozott integrál
Alapfogalmak 157
Alsó ás felső összegek tulajdonságai 160
A Riemann-integrál definíciója 163
Integrálhatósági kritériumok 165
Darboux-tétel 168
A határozott integrál tulajdonságai 173
Cauchy--Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség 179
Integrálszámítás első középértéktétele 180
Integrálfüggvény 181
Integrálfüggvény tulajdonságai 182
Newton-Leibniz-formula 184
11. Az integrálszámítás alkalmazásai
Területszámítás 188
Görbe paraméteres megadása 189
Görbevonal ívhossza 193
Forgástest térfogata 195
Forgástest palástjának felszíne 196
Taylor-formula integrállal adott maradéktaggal 198
12. Improprius integrálok 200
Kritériumok az improprius integrálok létezésére 203
13. Közelítő integrálás
Téglalap-formulák 208
Trapéz-formula 209
Simpson-formula 211
14. Primitív függvények (folytatás)
Racionális törtfüggvények integrálása 212
Irracionális függvények integrálása. 220
Trigonometrikus függvények integrálása 225
Ex racionális függvényének integrálása
15. Differenciálegyenletek
Alapfogalmak 228
Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 229
Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek 231
Bernoulli-féle differenciálegyenletek 234
Változókban homogén differenciálegyenletek 236
Lagrange-féle differenciálegyenlet 237
Clairaux-féle differenciálegyenlet 238
Hiányos másodrendű differenciálegyenletek 240
Másodrendű lineáris differenciálegyenletek 241
Konstans együtthatós másodrendű lineáris differenciálegyenletek 250
Másodrendű homogén Euler-féle differenciálegyenlet 252
Ajánlott irodalom 254

Témakörök