Közönséges differenciálegyenletek numerikus módszerei

Tartalom

Bevezetés 3
Első fejezet. A kezdeti-érték probléma módszerei 5
1. A probléma és a módszer megfogalmazása 5
2. Lineáris differenciaegyenletek 6
3. Analitikus módszerek 12
3.1 Picard-féle módszer 12
3.2 Taylor-sor módszer 13
4. Runge-Kutta típusú módszerek 15
4.1 Egylépéses módszerek általános alakja 15
4.2 Speciális Runge-Kutta típusú explicit módszerek 18
4.3 Speciális Runge-Kutta típusú implicit módszerek 24
4.4 Hibabecslés 31
4.5 Döntés, és lépéshossz megválasztás 38
4.6 Egylépéses módszerek magasabb rendű differenciálegyenletek megoldására 42
4.7 Példák 44
4.8 Feladatok 50
5. Lineáris többlépéses módszerek 52
5.1 Extrapolációs és interpolációs típusú módszerek 52
5.2 A módszer rendje 53
5.3 Többlépéses módszerek képlethibája 57
5.4 Hibaterjedés, stabilitás 59
5.5 Speciális stabilis módszerek 65
5.6 Prediktor-korrektor módszerek 68
5.7 Hibabecslés 72
5.8 Kezdő értékek számítása 73
5.9 A lépéshossz változtatása 75
5.10 Magasabb rendű differenciálegyenletek többlépéses módszerei 76
5.11 Példa a Hamming-féle prediktor-korrektor módszerre 79
5.12 Feladatok 82
6. Hibrid módszerek 85
6.1 A korrektor formula
6.2 Egy egyszerű korrektor formula levezetése 87
6.3 Prediktor formulák 88
6.4 Speciális stabilis módszerek
6.5 Példa az ötödrendű Butcher-féle hibrid módszerre 94
6.6 Feladatok
7. Speciális módszerek 99
7.1 Trigonometrikus közelítésen alapuló többlépéses módszerek 99
7.2 Racionális közelítésen alapuló módszerek 110
7.3 Példák 118
7.4 Feladatok 120
8. Implicit egyenletek 122
Második fejezet. A perem-érték probléma módszerei 125
1. A feladat megfogalmazása 125
2. A véges differenciák módszere 126
2.1 A differenciálhányadosok közelítése 126
2.2 A differenciálegyenlet közelítései 131
2.3 A közelítő egyenletrendszer megoldása 134
2.4 Hibabecslés 137
2.5 Végtelen intervallum esete 140
2.6 Példák 142
2.7 Feladatok 150
3. Kezdeti-érték feladatra való visszavezetés 151
4. Egyéb módszerek 154
4.1 A kollokáció módszer 155
4.2 A legkisebb négyzetek módszere 155
4.3 Ritz-módszer 156
5. Sajátérték feladatok 159
5.1 A feladat visszavezetése mátrix sajátértékének meghatározására 161
5.2 A feladat visszavezetése kezdeti-érték feladat megoldására. Végtelen intervallum esete 162
Irodalomjegyzék 165

Témakörök