Aranyháromszög

Tartalom

Bevezetés 11
1. Aranymetszés, Fibonacci-sorozat és az ötszög 13
1.1. Az aranymetszés arányszáma 120 jegy pontosságig 13
1.2. A Fibonacci-sorozat 18
1.3. Szabályos ötszög 24
2. Közös pontok 29
2.1. A Fibonacci sorozat és az aranymetszés kapcsolata 29
2.2. A szabályos ötszög és az aranymetszés kapcsolata 31
2.3. Az aranyháromszög 33
3. A Fibonacci-sorozat általánosítása 36
3.1. A hagyományos Fibonacci-sorozat 36
3.2. A Fibonacci-sorozat kiterjesztése negatív irányba 37
3.3. Fibonacci-sorozat tetszőleges kezdőtagokkal 39
3.4. A mértani Fibonacci-sorozatok 40
4. A Fibonacci-sorozat geometria ábrázolása és összegképlete 43
4.1. Fibonacci-sorozatok összegének meghatározása 43
4.1.1. Mértani Fibonacci-sorozatok összegképlete 43
4.1.2. Hagyományos Fibonacci-sorozat összegképlete 43
4.2. Az összegképlet grafikus meghatározása 45
4.3. Az összegképlet általános esete 49
4.4. A Fibonacci-sorozat meghatározása tükrözéssel 49
4.5. A Fibonacci-csigavonal 50
5. A Fibonacci-sorozat algebrája 51
5.1. A hatványsorozat kifejezése a klasszikus Fibonacci-sorozattal 51
5.2. Fibonacci-sorozatok összege 52
5.3. Az összegsorozat 53
5.4. A különbségi sorozat 53
5.5. Fibonacci-sorozat, hatványsorozatok, összeg- és különbségi sorozat összehasonlítása 55
5.6. A mértani Fibonacci-sor tagjainak kifejezése egész szám és a gyök 5 egész számú többszörösének összegeként 56
5.7. A folytonos Fibonacci-függvények 56
5.8. x az n-ediken + ax + b = 0 alakú egyenletek, amelyek az aranymetszés gyökeit adják 60
5.9. Kérdőjelek a Brun szám körül 62
6. A Fibonacci-sorozat és a trigonometria 65
6.1. Szögfüggvények meghatározása 65
6.2. A pi kifejezése a Fibonacci-számokkal 68
7. A Fibonacci-számrendszerek 71
7.1. Számrendszer a hagyományos Fibonacci-sorozattal 71
7.2. Számrendszer az aranymetszés pozitív gyökére épített Fibonacci-sorozattal 72
7.3. Számrendszer az aranymetszés negatív gyökére épített Fibonacci-sorozattal 73
7.4. Konverzió Fibonacci-számrendszerböl tízes számrendszerbe 75
7.5 Konverzió tízes számrendszerből Fibonacci-számrendszerbe 76
7.5.1. Konverzió klasszikus Fibonacci-számrendszerbe 76
7.5.2. Konverzió tízes számrendszerből x alapú Fibonacci-számrendszerbe 77
7.5.3. Konverzió tízes számrendszerből j alapú Fibonacci-számrendszerbe 78
7.6. Fibonacci-számrendszerbeli szám optimális alakra hozása 80
7.7. Egész számok kifejezése Fibonacci-számrendszerben 82
7.8. A Fibonacci-számrendszer hatékonysága 85
7.9. Összefoglalás 88
8 Összefüggések a hagyományos Fibonacci-sorozat és az összegsorozat tagjai között 90
8.1. A sorozatképzésből adódó eredmények 90
8.2. A szimmetria tétel 95
8.3. Műveletek a Fibonacci-sorozat és az összegsorozat tagjaival 97
8.4. Műveletek a Fibonacci-sorozat tagjainak indexében 99
8.5 A Fibonacci-számok oszthatósága 100
8.5.1. A szomszédos Fibonacci-számok relatív prímek 100
8.5.3. Minden természetes számnak van többszöröse a Fibonacci-számok között 101
8.5.4. Prímszámok többszöröse a Fibonacci-számok között 103
8.5.5. Grafikus megjelenítés és példák az 5 < n < 29 prímszámokra 106
8.5.6. További kapcsolat a prímszámok és a Fibonacci-számok között 107
8.5.7. A Fibonacci-sorozat felsorolja a prímszámokat 108
9. A szabályos ötszögben rejtőző aranymetszések 110
9.1. Az ötszög oldalának és átlójának aránya 110
9.2. Az átlók metszési aránya a szabályos ötszögben 111
9.3. A beírt és körülírt kör sugarának aránya a szabályos ötszögben 113
9.4. Részterületek aránya a szabályos ötszögben 114
9.5. A szabályos ötszög és a szabályos hatszög kapcsolatából adódó aranymetszés 115
9.6. Kivétel erősíti a szabályt 117
10. Aranymetszés a térgeometriában 119
10.1. Szabályos testek 119
10.2. A szabályos testek néhány tulajdonsága 121
10.3. A dodekaéder és az aranymetszés 122
10.4. Az ikozaéder és az aranymetszés 124
10.5. A csonkakúp 125
11. Az attenuátor 128
11.1. A klasszikus Fibonacci-sorozat előállítása attenuátorral 128
11.2. A mértani Fibonacci-sorozat előállítása attenuátorral 129
12. A Fibonacci-számok a természetben 131
12.1. Elágazások 131
12.2. Szirmok 132
12.3. Spirálok 133
12.4. Csigaházak 134
12.5. Levelek 135
13. Az aranymetszés a művészetben 137
Befejezés 149
Irodalom 150

Témakörök