Komplex függvénytan

Tartalom

Elemi függvénytan ............................................................3
1. Komplex számok és számsorozatok..........................................3
2. Riemann-féle számgömb. Sztereografikus vetítés ............7
3. Lineáris függvények ..................................................................9
4. A Bolyai-Lobacsevszkij-féle (nem-euklidesi) sík Poincaré-féle modellje ...19
5. Ponthalmazok, tartomány ......................................................22
6. Komplex változós függvény folytonossága és differenciálhatósága .......24
7. Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek. Laplace-féle differenciálegyenlet.....27
8. Holomorf függvény által létesített leképezés..........................29
9. Hatványsor konvergenciaköre ...................................30
10. Hatványsor összegfüggvényének tulajdonságai..................34
11. Az exponenciális és a trigonometrikus függvények és inverzeik.............38
12. Riemann-felületek ..........................................43
Integráltételek ............................................................45
1. A görbe menti integrál fogalma ................................................45
2. Cauchy-féle integráltétel..................................49
3. A Cauchy-féle integráltétel egyszerű következményei és kiterjesztései ..............56
4. Az integrál mint a felső határ függvénye................................58
5. Cauchy-féle integrálformula............................63
Az integrálformula első fontos következményei ......... 67
1. Holomorf függvény hatványsorba fejthető. Integrálformulák a differenciálhányadosokra ..............67
2. Holomorf függvény zéróhelyei ..................................................70
3. Cauchy-féle egyenlőtlenségek. Liouville tétele. Az algebra alaptétele ...........71
4. A maximum-tétel .............................................74
5. Hadamard háromkör tétele ......................................................75
6. A maximum-tétel egyéb következményei.....................79
7. Morera tétele .....................................................82
8. Holomorf függvények egyenletesen konvergens sorozatai......83
Laurent-sor. Szinguláris helyek. Rouché tétele..................87
1. Laurent-sor....................................................................................87
2. A Taylor- és Laurent-félékkel rokon típusú sorfejtések ... 90
3. Az izolált szinguláris helyek osztályozása................................93
4. A függvény főrésze. Parciális törtekre bontás. Meromorf függvények............96
5. A függvény viselkedése a végtelen távoli pontban ..................97
6. Reziduum-tétel..................................................99
7. A logaritmikus differenciálhányados. Zéróhelyek és pólusok száma............101
8. Rouché tétele ...............................................104
9. Holomorf függvény inverze.................................108
A reziduum-számítás alkalmazásai határozott integrálok kiszámítására ................115
4. Integrálok exponenciális függvényekkel ....................................130
5. Néhány további feladat .................................................................133
Parciális törtek összegére és gyöktényezők szorzatára való felbontások ........135
1. A cotgí" z függvény felbontása parciális törtek összegére . . 135
2. Mittag-Leffler tétele meromorf függvények parciális törtekre bontásáról ......... 140
4. Egész függvények szorzatelőállítása véges sok zéróhely esetén ................ 145
5. Egész függvények szorzatelőállítása végtelen sok zéróhely esetén ................ 147
6. Gamma-függvény ..................................... 155
7. A Weierstrass-féle szigma- és pé-függvény ............. 162
8. Elliptikus függvényekre vonatkozó egyszerű tételek ...... 168
Konformis leképezések ............................... 173
1. Egyrétű függvények ................................... 173
2. Schwarz-féle lemma és egyszerű következményei.......... 174
3. Holomorf függvények korlátos sorozatainak egyenletes konvergenciájára vonatkozó tétel ...................177
4. Vitali-Montel-féle kiválasztási tétel................180
5. A konformis ábrázolás alaptétele. Visszavezetés korlátos tartomány esetére......182
6. Bizonyítás korlátos tartomány esetében........ .....183
Irodalomjegyzék ...........................................188

Témakörök