Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe

Tartalom

Bevezetés 1
I . Alapfogalmak 7
1. Halmazok, relációk, leképezések 7
1.1. Halmazok 7
1.2. Relációk 9
1.3. Leképezések 10
1.4. Megjegyzés 12
2. Valós és komplex számok 13
2.1. Bevezetés 13
2.2. Valós számok 14
2.3. A komplex számtest 16
2.4. Kanonikus alak, konjugálás 17
2.5. Trigonometrikus alak 18
2.6. Műveletek és a komplex sík transzformációi 23
II. Polinomgyűrűk , oszthatóság 25
1. Polinomgyűrűk 25
1.1. A polinomgyűrű fogalma 25
1.2. Polinomok fokszáma 27
2. Oszthatóság 32
2.1. Gauss félcsoportok 32
2.2. A Gauss félcsoportok jellemzése 33
2.3. Legnagyobb közös osztó 36
3. Gauss gyűrűk 39
3.1. Főideál-gyűrűk 39
3.2. Euklideszi gyűrűk 41
4. Irreducibilis elemek 43
4.1. Prímszámok 43
4.2. Irreducibilis polinomok 43
5. Törtek 47
5.1. Kommutatív integritás-tartomány testté való bővítése 47
5.2. Törtpolinomok elemi törtekre való bontása 49
III. A vektorterekkel kapcsolatos alapvető fogalmak 55
1. Vektorterek 55
1.1. A vektortér fogalma, lineáris függetlenség 55
1.2. Véges dimenziós vektorterek, bázis, dimenzió 59
2. Alterek 65
2.1. Az altér fogalma 65
2.2. Alterek közti műveletek 66
2.3. Vektortér altérhálója 68
2.4. Alterek direkt összege 71
2.5. Faktortér 74
3. Duális tér 76
3.1. Lineáris funkcionálok, duális tér 76
3.2. Duális bázis 78
3.3. Reflexivitás 81
3.4. Annullátorok 82
4. Lineáris transzformációk 64
4.1. A lineáris transzformáció fogalma, műveletek 84
4.2. Transzformációk rangja és nullitása 87
4.3. Lineáris transzformáció adjungáltja 89
4.4. Invariáns alterek 92
IV. Tenzori és külső szorzatok 97
1. Tenzori szorzat 97
1.1. Két vektortér tenzori szorzata 97
1.2. A tenzori szorzat dimenziója 100
1.3. Általánosítás több tényezőre 102
1.4. Lineáris transzformációk tenzori szorzata 103
2. Permutációk 104
2.1. Permutációcsoportok 104
2.2. Ciklusok 105
2.3. Transzpozíciók, paritás 107
3. Külső szorzat 112
3.1. Szimmetriaosztályok, vektorterek külső szorzata 112
3.2. A külső szorzattér dimenziója 114
3.3. Ferdén szimmetrikus multilineáris leképezések 117
3.4. Operátor külső hatványa, determináns 118
4. Algebrai adjungált 120
4.1. Kapcsolat a külső szorzatterek között 120
4.2. Operátor algebrai adjungáltja 122
4.3. Az algebrai adjungált tulajdonságai 124
V. Mátrixok 127
1. Lineáris transzformáció mátrixa 127
1.1. A mátrix fogalma 127
1.2. Transzformáció mátrixa, műveletek 128
1.3. Báziscsere 132
2. Külső szorzat tereken értelmezett operátorok mátrlval 135
2.1. Mátrix determinánsa 135
2.2. Lineáris transzformáció adjungáltjának mátrixa 138
2.3. Operátor külső hatványának mátrixa 140
2.4. Az algebrai adjungált mátrixa 141
2.5. Kifejtési tétel, invertálhatóság 145
3. Mátrixok rangszámtétele 149
3.1. Vektorrendszer rangja 149
3.2. A rangszámtétel 150
4. Lineáris egyenletrendszerek 153
4.1. A megoldhatóság kritériuma 153
4.2. Az összes megoldás meghatározása 154
4.3. Cramer-szabály 156
VI. Véges dimenziós vektortér operátorainak osztályozása, operátorok kanonikus mátrixai 159
1. Minimálpolinomok 159
1.1. Operátor minimálpolinomja 159
1.2. Ciklikus altér, lokális minimálpolinom 160
1.3. Legnagyobb lokális minimálpolinom létezése 161
2. Ciklikus operátorok 165
2.1. Minimálpolinomjaikkal történő jellemzésük 165
2.2. Ciklikus operátor klasszikus kanonikus mátrixa 167
3. Az operátorok osztályozása 174
3.1. Operátor ciklikus operátorok direkt összegére való felbontása 174
3.2. Operátor multiplicitása 178
3.3. Polinommátrixok 181
3.4. Operátor invariáns faktorai, osztályozás 191
4 . Kanonikus mátrixok 198
4.1. Operátor Jordán mátrixa és klasszikus kanonikus mátrixa 198
4.2. Sajátérték, sajátvektor, gyökvektor 201
VII. Euklideszi és unitér terek 215
1. Belső szorzat terek, normált terek 215
1.1. Belső szorzat, ortonormált bázis 215
1.2. Normált tér 227
1.3. Lineáris funkcionálok, adjungálás, ortogonális komplementer belső szorzatterekben 245
2. Normális operátorok 253
2.1. Általános jellemzés 253
2.2. Spektrális felbontás unitér terekben 260
2.3. Spektrális felbontás euklideszi terekben 264
3. Pozitív operátorok 274
3.1. Spektrális jellemzés 274
3.2. Belső szorzatterek külső hatványai 276
3.3. Pozitív definit mátrixok 280
VIII. Másodrendű hiperfelületek euklideszi pontterekben 287
1. Euklideszi pontterek 287
2. Másodrendű hiperfelületek, főtengelytranszformáció 293
3. A másodrendű görbék és felületek osztályozása 299
Irodalomjegyzék 307

Témakörök