A matematika alapjai I/1. (töredék)

Tartalom

BEVEZETÉS
NEM RENDEZETT HALMAZOK (SZÁMOSSÁGOK ELMÉLETE)
I. fejezet
Végtelen halmazok összehasonlítása
1. Egy halmazelméleti probléma 8
2. Van-e végtelen halmazok között mennyiségi különbség? 8
3. Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés 9
4. Az ekvivalencia definíciója 11
Részhalmaz, valódi részhalmaz 12
6. Az ekvivalencia tulajdonságai 14
7. Az absztrakcióval való definíció 15
Megszámlálható halmazok.
1. Megszámlálható halmazok, sorozatba rendezés 20
2. Halmazok összege; megszámlálható és véges halmazok összege megszámlálható 21
3. Véges számú megszámlálható halmaz összege megszámlálható 22
4. Megszámlálhatóan végtelen sok véges halmaz összege, amennyiben végtelen, megszámlálható, a racionális számok halmaza megszámlálható 23
Megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálható halmaz összege is megszámlálható 24
Megszámlálható halmazból képezett véges sorozatok halmaza megszámlálható 25
Az algebrai számok halmaza megszámlálható 26
A valós számok megszámlálhatóságának kérdése 27
Kontinuum-számosságú halmazok.
A valós számok halmaza nem megszámlálható
2. Az irracionális és a transzcendens számok halmaza nem megszámlálható 30
Kontinuum-számosságu halmazok 30
4. Ekvivalens halmazok összege is ekvivalens 33
5. Az eddig megismert halmazok számosságának jelölése 34
6. A sík pontjainak halmaza kontinuum-számosságu 34
7. Halmazok szorzata; ekvivalens halmazok szorzata is ekvivalens 36
8. Megszámláltatóan végtelen sok dimenziós tér pontjainak halmaza is kontinuum-számosságú 38
Számosságok közötti egyenlőtlenség fogalma
1. Az egyenlőtlenség definíciója számosságok között 39
2. A számosságok közötti egyenlőtlenség valóban a számosságok tulajdonsága 40
3. A számosságok közötti egyenlőtlenség tulajdonságai 41
4. Az ekvivalencia-tétel bizonyítása 43
3. A gráf-terminológia 46
6. A kiindulásul választott kérdés megoldása 48
További végtelen számosságokra vonatkozó kérdések 49
A KONTINUUMNÁL NAGYOBB SZÁMOSSÁGOK.
1. A valós változás, valós értékű függvények halmaza a kontinuumnál nagyobb számosságú halmaz 52
Számosságú halmazok halmazokból képezett hatvány 33
Nagyobb számosságokhoz vezető tételek
Bármely halmaznál van nagyobb számosságú halmaz 55
2. A hatványhalmaz 57
Számosságok bármely halmazához van olyan számosság, amely a halmazhoz tartozó bármely számosságnál nagyobb 58
III. fejezet.
MŰVELETEK SZÁMOSSÁGOK KÖZÖTT
l.§. Számosságok összeadása.
1. Két számosság összege 60
2. Az összeadás tulajdonságai 60
3. A legegyszerűbb számosságok összeadása 62
4. Számosságok kivonása 64
2.§. Számosságok szorzása.
1 Két számosság szorzata 64
2. A szorzás tulajdonságai 65
3. A legegyszerűbb számosságok szorzása 67
4. Számosságok oszthatósága és osztása 69
3.§. Számosságok hatványozása.
1. Két számosságból képezett hatvány 69
2, A hatványozás tulajdonságai 70
5. A legegyszerűbb számosságok hatványozása 72
4. A hatványozás inverz műveletei a számosságok körében 75
5. Műveletek a 0 és 1 számosságokkal 76
IV. fejezet.
EGYENLŐTLENSÉGEK SZÁMOSSÁGOK KÖZÖTT.
l.§. Az alapműveletek monotonsága.
1. Az összeadás monotonsága 78
2. A szorzás monotonsága 78
3. A hatványozás monotonsága 79
4. A monotonsági tételek következményei 80
5. Az ekvivalencia-tétel néhány további alkalmazása 82
A Kőnig-féle egyenlőtlenség és alkalmazásai
1. A Kőnig-féle egyenlőtlenség 83
2. A Kőnig-féle egyenlőtlenség alkalmazásai 85
II. rész
RENDEZETT ÉS JÓLRENDEZETT HALMAZOK (RENDTÍPUSOK ÉS RENDSZÁMOK ELMÉLETE)
I. fejezet.
RENDEZETT HALMAZOK ÉS RENDTÍPUSAIK.
l.§. A rendtípus fogalma.
A rendezett halmaz fogalma 90
Rendezett halmazok hasonlósága 93
A hasonlóság tulajdonságai 95
A rendtípus fogalma 95
2.§. Műveletek rendtípusok között.
1. Rendtípusok összeadása 97
2. A rendtípusok összegének tulajdonságai 99
3. Rendtípusok szorzása 102
4. Rendtípusok szorzatának tulajdonságai 105
II. fejezet.
JÓLRENDEZETT HALMAZOK ÉS RENDSZÁMAIK.
l. A jólrendezett halmaz és a rendszám fogalma.
1. A rendtípusok nem mind alkalmasak egy elem helyének megjelölésére egy rendezett halmazban 110
2. A jólrendezett halmaz fogalma 110
3. A rendszám fogalma 113
2.. Műveletek rendszámokkal.
1. Rendszámok összege 114
2. Rendszámok szorzata 116
3.§. rendszámok közötti egyenlőtlenségek.
1. Az egyenlőtlenség definíciója a rendszámok között 117
2. A rendszámok közötti egyenlőtlenség tulajdonságai 120
3. A rendszámok közötti alapműveletekre ás egyenlőtlenségekre vonatkozó tételek 126
4. Jólrendezett halmaz elemeinek sorszámozása 129
5. A rendszámhalmazok jólrendezettsége 131
6. Bármely rendszámhalmazhoz van olyan rendszám, amely a halmazhoz tartozó bármely rendszámnál nagyobb 132
A transzfinit indukció elve és halmazelméleti alkalmazásai
1. A transzfinit indukcióval való bizonyítás 138
2. A transzfinit indukcióval való definíció 139
3. A rendszámok hatványozásának definíciója 141
4. Rendszámok sorozatának határértéke; rendszámfüggvény folytonossága 143
3. Az összeadás és szorzás folytonossága 146
6. A hatvány folytonossága 148
7. A hatvány tulajdonságai 149
8 Végtelen sok rendszám szorzata 151
A második számosztály rendszámai.
2. A második számosztály 154
3. A második számosztály számainak előállítása ismételt hozzáadása és limeszképzés segítségével 155
4. A második számosztály számainak előállítása az a alapú számrendszerben 158
5. Az epszilon-számok 161
6. A magasabb számosztályok és az alefek.
1. A számosztály általános fogalma. 167
2. A tetszőleges indexű kezdőszámok és alefek létezése 169
A jólrendezési tétel.
A jólrendezhetőség problémája 174
A jólrendezési tétel bizonyítása 175
jelrendezési tétel következményei 177
4.1 jól rendezési tétel és a kontinuumprobléma 178

Témakörök