Algebrai és geometriai példatár

Tartalom

Előszó 3
I. Bevezető ismeretek az ítéletekről és halmazokról, 5
1. Matematikai objektumok, konstans megnevezések és változók 5
Számok és felírásaik 6
Tizes helyrendszer 8
Valós számok 12
Rendezett objektumok 15
Állandó és megnevezésformák 20
2. Számtartományok 24
A természetes számok tartománya 24
A tizedes törtek tartománya 35
A racionális számok tartománya 38
A valós számok tartománya 45
Matematikai objektumokkal való műveletek.
Kifejezések átalakítása 51
A rendezett pontpárok összeadása 51
Tetszés szerinti számokkal való műveletek
eredményeinek a felírása 54
Kifejezések és átalakításaik 60
A kifejezések egyszerűsítése 64
Abszolút értékeket tartalmazó kifejezések 69
4. Intervallumok 71
Az intervallumok felírása és ábrázolása 71
Az intervallumok jellemzése távolságok segítéségével 75
II. További ismeretek az ítéletekről és a halmazokról
- alkalmazások 79
1. Halmazokkal való műveletek 79
Az egyenesen levő ponthalmazokkal való műveletek 81
Intervallumokkal végzett műveletek 87
Ponthalmazokkal való műveletek a síkban 91
Ismert síkidomok és képzési módjaik áttekintése 96
Konvex ponthalmazok 101
A szakaszok és szögeik összeadásának halmazelméleti alapjai 104
Kerületi és középponti szögek 109
Irányított szögek 113
2. Ítéletekkel és ítéletfüggvényekkel való műveletek 115
Egyszerű következtetésmódok 116
Az ítéletek közvetlen és közvetett bizonyításai 122
Implikációk és ekvivalenciák, bizonyításai 128
Felcserélt és megfordítható tételek 132
3. Egyenletek és egyenlőtlenségi predikátumok 139
Egyenletek mint ítéletfüggvények 140
Egyenletek megoldása a kilencéves alapiskolából ismert módszerekkel 143
Egyenlőtlenségek mint ítéletfüggvények 148
Egyszerű egyenlőtlenségi predikátumok megoldása 150
Az ítéletfüggvényekkel végzett műveletek felhasználása az egyenletek és egyenlőtlenségi
predikátumok megoldásakor 155
4. A síkban levő ponthalmazok 159
A szakaszok tulajdonságairól, a szögekről és háromszögekről szóló tételek 159
A pontok mértani helye 164
Ponthalmazok vizsgálata 171
Szerkesztési feladatok 175
+ Háromszögek és négyszögek szerkesztése 180
Pitagorasz tétele és Euklídész tételei 190
+ Szerkesztések számítások alapján 194
+ További jelentős ponthalmazok 198
Ismétlési feladatok 201
III. Lineáris egyenletek, egyenlőtlenségek és rendszereik 204
1. Két halmaz Descartesi szorzata 204
Az R X R Descartesi szorzat részhalmazai, és ezek grafikonjai 209
Egyenesek és félsíkok mint HX R részhalmazainak grafikonjai 212
Binér relációk és grafikonjai 21
2. Egyenlőség és egyenlőtlenség mint R-ben értelmezett binér reláció 220
Reflexív, szimmetrikus és tranzitív relációk. 220
Egyenlőséggel és egyenlőtlenséggel kapcsolatos tételek a valós számok halmazában 222
Valós számok közelítő értéke 228
3. Egyváltozós egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása 234
Lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus megoldása 234
Egyenletek megoldása átalakítással 238
Egyenletek megoldása ismeretlennel a törtek nevezőjében 245
+ Egyenlőtlenségek megoldása átalakítással 250
Abszolút értékeket tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása 256
Szöveges feladatok 259
4. Paraméteres egyenletek és egyenlőtlenségek 270
Parametrikus egyenletek megoldása 271
+ Többparaméteres egyenletek és igényesebb feladatok 277
+ Paraméteres egyenlőtlenségek 283
+ Paraméteres geometriai feladatok 286
5. Lineáris egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek 293
Egyismeretlenes lineáris egyenlőtlenségrendszerek 294
Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek 296
+ Kétváltozós lineáris egyenlőtlenségrendszerek 304
Három és többismeretlenes lineáris egyenlet rendszerek 309
Szöveges feladatok 316
IV. Valós kitevőjű hatványok 321
Természetes kitevőjű hatványok 321
Egész kitevőjű hatványmennnyiségek 325
Gyökmennyiségek 329
Racionális kitevőjű hatványok 335
Hatványok és gyököket tartalmazó algebrai kifejezések átalakításai 340
Négyzet- és köbgyökökkel való számolás 347
Némely speciális típusú kifejezés átalakítása 352
Valós kitevőjű hatványok 357
Ismétlési feladatok 362
V. Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek 367
1. Másodfokú egyenlet megoldásának különböző megközelítése 367
Másodfokú egyenlet grafikus megoldása 368
Másodfokú háromtag felbontása 371
+ Másodfokú egyenlet megoldása képlet alkalmazása nélkül 374
A másodfokú egyenlet diszkriminánsát tartalmazó képlet alkalmazása 377
2. Másodfokú egyenletekre vezető feladat 379
Törtkifejezéseket tartalmazó egyenlet 379
+ Egyenletek abszolút értékkel 382
Alkalmas szubsztitúcióval megoldható feladatok 384
Egyenletek ismeretlennel a gyökjel alatt 386
Szóbeli feladatok 388
3. Másodfokú egyenlőtlenségi predikátumok és ezekre vezető feladatok 393
A másodfokú egyenlőtlenségi predikátumok grafikus megoldása 394
A másodfokú egyenlőtlenségi predikátumok átalakítással való megoldása. 397
összetett típusú egyenlőtlenségi predikátumok megoldása 401
4. Paraméteres feladatok 406
Másodfokú paraméteres egyenletek 407
Az egyenletek gyökeiről és együtthatóiról szóló feladatok 409
+ Kivánt tulajdonságú gyökökkel rendelkező egyenletek felállítása 412
Szöveges paraméteres feladatok 415
VI. Egybevágó és hasonló leképezések 417
1. A síkbeli egybevágó leképezés fogalma 417
+ Leképezés a síkban 417
Egybevágó leképezések a síkban 421
Tételek az egybevágó leképezésekről a síkban 425
Idomok egybevágósága 430
2. Középpontos tükrözés 433
Középpontos tükrözéssel kapcsolatos tételek. 434
+ Középpontos tükrözés egyenletei a síkban 436
Középpontos tükrözés alkalmazása szerkesztési feladatokban 439
3. Tengelyes tükrözés 445
Tengelyes tükrözésre vonatkozó tételek 446
Tengelyes tükrözés alkalmazása szerkesztéseknél 448
+ Igényesebb feladatok 451
4. Forgatás és eltolás 455
Forgatás 456
Forgatás alkalmazása szerkesztéseknél 459
Ekvipolens pontpárok 462
5. Az inverz egybevágó leképezés összetétele 468
Inverzió a leképezésben 468
Az egybevágó leképezés összetétele 470
+ A síkban végzett egybevágó leképezések áttekintése 474
6. Hasonlósági helyzet mint hasonlósági leképezés 477
A síkbeli hasonlósági leképezés fogalma 477
A síkbeli hasonlósági leképezés tételei 479
+ A hasonlósági helyzet egyenletei 481
7. Az idomok hasonlósági helyzete 483
A hasonlósági helyzet szerkesztési felhasználása 487
+ Igényesebb feladatok 492
8. Az alakzatok hasonlósága és hasonlósági leképezés 494
Hasonlósági leképezésre vonatkozó feladatok tételek 494
Hasonló idomokra vonatkozó tételek 497
A hasonlóság szerkesztési alkalmazása 498
Feladatok megoldása 502

Témakörök