Matematika I.

Tartalom

Előszó 7
1. BEVEZETÉS 8
1.1. A halmazelmélet alapjai 8
A halmaz fogalma 8
Műveletek halmazokkal 9
1.2. A valós és komplex számok rendszere 12
A számhalmazok és az azokon értelmezett műveletek 12
A valós számok 13
Speciális valós számhalmazok 18
A komplex számok fogalma 21
Műveletek komplex számokkal 22
1.3. Függvények 25
Függvénytani alapismeretek 25
Műveletek valós értékű függvényekkel 30
1.4. Halmazok számossága 31
2. VALÓS SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK 33
2.1. Valós számsorozatok 33
Konvergens és divergens sorozatok 33
Sorozatok tulajdonságai, konvergenciakritériumok 35
Műveletek sorozatokkal, határértékképzés és műveletek 38
Nevezetes konvergens sorozatok 41
2.2. Végtelen sorok 48
Konvergens és divergens sorok 48
Műveletek sorokkal 50
Konvergenciakritériumok 51
3. VALÓS FÜGGVÉNYEK 55
3.1. Alapfüggvények 55
Hatványfüggvények 55
Polinomok 56
Racionális törtfüggvények 58
Trigonometrikus függvények 59
Arkuszfüggvények 61
Exponenciális függvények 63
Logaritmusfüggvények 64
Elemi függvények 64
3.2. Valós függvények tulajdonságai 65
Függvények paritása 65
Periodikus függvények 66
Függvények korlátossága 66
Monotonitás: növekedés és csökkenés 67
Szélsőértékek: minimum és maximum 68
Konvexitás, konkávitás 69
3.3. Valós függvények határértékei 73
Valós függvények véges helyen vett határértéke 73
Jobb és bal oldali határérték 75
Valós függvények végtelenben vett határértéke 78
Átviteli elv 79
A határértékképzés és a műveletek kapcsolata 80
Valós függvények aszimptotái 81
Nevezetes függvényhatárértékek 83
3.4. Valós függvények folytonossága 89
Definíciók, példák 89
Folytonosság és határérték 92
Zárt intervallumon folytonos függvények 94
Egyenletes folytonosság 95
4. VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA 98
4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai 98
A differenciálhányados (a derivált) 98
A derivált geometriai jelentése 100
Ekvivalens definíció, a folytonossággal való kapcsolat 102
A deriváltfüggvény 105
4.2. Differenciálási szabályok 106
4.3. Az alapfüggvények deriváltjai 110
Hatványfüggvények, polinomok, racionális törtfüggvények 110
Trigonometrikus függvények 112
Arkuszfüggvények 113
Exponenciális és logaritmusfüggvények 115
4.4. A differenciálszámítás néhány alaptétele 117
A differenciálszámítás középértéktételei 117
Speciális típusú határértékek kiszámítása 120
4.5. Magasabbrendű deriváltak 122
4.6. Függvényvizsgálat a deriváltak segítségével 124
Valós függvények tulajdonságai és a deriváltak 124
Teljes függvényvizsgálat 127
4.7. Taylor-polinom és Taylor-sor 130
5. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 136
5.1. Határozott és határozatlan integrál 136
Síkidomok területe 136
Határozott integrál 139
A határozott integrál tulajdonságai 144
Primitív függvény, határozatlan integrál, Newton-Leibniz-formula 146
5.2. Integrálási módszerek 149
Alapintegrálok 149
Speciális integrálási formulák 150
Parciális integrálás 150
Integrálás helyettesítéssel 152
Racionális törtfüggvények integrálása 154
Racionális törtfüggvény integrálására visszavezethető feladatok 158
5.3. Improprius integrál 160
Nem korlátos függvény integrálja 160
Nem korlátos intervallumon vett integrál 162
5.4. Az integrálszámítás alkalmazásai 163
Síkidomok (normáltartományok) területe 163
Görbék ívhossza 165
Forgástestek térfogata 168
Forgástestek palástfelszíne 170
Statikai nyomaték, súlypont 171
6. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 175
6.1. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek 176
Alapfogalmak 176
Szétválasztható változójú (szeparábilis) differenciálegyenletek 180
Szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegyenletek 183
Elsőrendű közönséges lineáris differenciálegyenletek 186
6.2. Magasabbrendü közönséges differenciálegyenletek 191
Alapfogalmak, hiányos másodrendű differenciálegyenletek 191
Másodrendű lineáris differenciálegyenletek 197
n-ed rendű lineáris differenciálegyenletek 205
Felhasznált irodalom 207

Témakörök