Előszó
Ez a könyv az algebráról kíván áttekintést adni, annak alapfogalmairól és számos ágazatáról. Fölmerül a kérdés, hogy milyen nyelvet használjunk ehhez. Arra a kérdésre, hogy "Mit tanulmányoz a matematika?", az a válasz aligha elfogadható, hogy "struktúrákat" vagy "speciális relációkkal ellátott halmazokat"; a különféle elképzelhető struktúrák és relációkkal ellátott halmazok tömegében ugyanis csak egy nagyon kicsi diszkrét rész tarthat a matematikusok valódi érdeklődésére számot; a kérdés lényege éppen abban rejlik, hogy érteni tudjuk az egyébként alaktalan tömegben elszórtan létező ezen kis töredék különleges jelentőségét. Hasonlóképpen, egy matematikai fogalom jelentése nem korlátozódik a formális meghatározására; ezt a jelentést valójában inkább kifejezheti egy (általában csekély számú) válogatás az alapvető példák közül, melyek a matematikus számára egyaránt szolgálnak motivációként, tényleges definícióként és ugyanakkor a fogalom valódi jelentéseként is.
Talán ugyanilyen nehézségekkel találjuk szembe magunkat, ha egy olyan dolognak kell az általános tulajdonságait jellemeznünk, amely akár a legcsekélyebb mértékben is egyedi. Így például értelmetlen dolog lenne "meghatároznunk" a németeket vagy a franciákat; ehelyett legföljebb a történelmükről vagy az életstílusukról adhatunk számot. Hasonlóképpen lehetetlen definiálnunk egy ember, egy egyént; ehelyett megadhatjuk az útlevelében szereplő adatokat, vagy megkísérelhetjük leírni a külalakját és a jellemét, valamint fölsorolhatunk néhány eseményt az életrajzából. Ezt az utat próbáljuk követni ebben a könyvben is, az algebrára alkalmazva. A könyvben tehát a téma axiomatikus és logikus fölépítését egy leíróbb jellegű anyag kíséri: itt a kulcsfontosságú példák gondos tárgyalását, valamint az algebra és a matematika egyéb ágainak, ill. a többi természettudománynak az érintkezési pontjait tárgyaljuk. Az anyag kiválasztásában természetesen erősen érezhető a szerző személyes véleménye és ízlése.
A könyv olvasóiként elsősorban elsőéves matematika szakos hallgatókra gondolok, valamint elméleti fizikusokra, illetve olyan nem az algebrában dolgozó matematikusokra, akik az algebra jellegéről, annak a matematika egészében elfoglalt helyéről szeretnének képet nyerni. A könyvnek azon részei, melyek az algebra fogalmainak és eredményeinek rendszeres tárgyalását adják, nagyon kevés előismeretet kívánnak meg az olvasótól: csupán a kalkulusban, az analitikus geometriában és a lineáris algebrában való jártasságot feltételezzük, méghozzá többnyire olyan formában, ahogyan azt számos középiskolában, ill. főiskolán tanítják. Nehezebb meghatározni azoknak az előismereteknek a körét, amelyek a példák tárgyalásánál szükségeltetnek; kívánatos a projektív terek, a topologikus terek, a differenciálható és a komplex analitikus sokaságok, valamint a komplex függvénytan ismerete, de az olvasónak nem szabad elfelejtenie, hogy ha egy adott példánál nehézségei támadnak, ez valószínűleg csak lokális természetű, és nem befolyásolja a könyv egyéb részeinek a megértését.
Ez a könyv nem vállalkozik az algebra tanítására; mindössze beszélni próbál róla. Ezt a hiányosságot részben pótolandó, igyekeztem egy részlete bibliográfiát adni; az ezt megelőző megjegyzésekben az olvasó olyan könyvekre találhat utalást, amelyekből a jelen könyvben fölvetett kérdésekről olvashat részletesebben, illetve olyanokra is, melyekben az algebra egyéb területeiről esik szó: olyanokról, melyekről a hely korlátos volta miatt most nem szólhattunk.
A könyv egy előzetes vázlatát a következő személyek nézték át: F. A. Bogomolov, R. V. Gamkrelidze, S. P. Gyemuskin, A. I. Kosztrikin, Ju. I. Manyin, V. V. Nyikulin, A. N. Parsin, M. K. Polivanov, V. L. Popov, A. b. Rojter és A. N. Tyurin; valamennyiüknek hálás vagyok megjegyzéseikért és javaslataikért, melyeket fölhasználtam a könyvben.
Igen hálás vagyok N. I. Safarevicsnek a kézirattal kapcsolatban nyújtott hatalmas segítségéért, valamint számos értékes megjegyzéséért.
Megragadtam az alkalmat, hogy az angol fordításban kijavítsak néhány hibát és pontatlanságot, melyek az eredeti változat kiadásáig észrevétlenek maradtak; nagyon hálás vagyok E. B. Vinbergnek, A. M. Volkonszkijnak és D. Zagiernek, hogy ezekre fölhívták a figyelmemet. Különös köszönet illeti a fordítót, M. Reidet a szövegen eszközölt számtalan javításáért.
Vissza 
Folytatás Microsoft-tal