Numerikus módszerek az áramlástan és hőtan parciális differenciálegyenleteinek megoldására I.

Tartalom

Bevezetés 5
1. A parciális differenciálegyenletekről általában 11
1.1. A kétváltozós szűkebb értelemben vett lineáris elsőrendű
parciális differenciálegyenlet 17
1.2. A Pfaff féle differenciálegyenlet 21
1.3. A technikában és fizikában leggyakrabban előforduló parciális differenciálegyenletek 26
1.4. A Cauchy féle feladat, Kovalevszkaja tétele 30
1.5. Kanonikus redukció, egyenletek osztályozása 33
1.5.1. n független változós másodrendű féllineáris parciális differenciálegyenlet 41
1.5.2. Másodrendű nemlineáris parciális differenciálegyenlet 44
1.5.3. Példák kanonikus transzformációra 45
1.6. Integrálás a változók szétválasztásával 50
1.7. Néhány kiegészítő megjegyzés 55
1.8. Néhány megoldástechnikai kérdés 57
2. Parciális differenciálegyenletek peremértékproblémáinak
numerikus megoldásai 60
2.1. Elliptikus differenciálegyenletek peremértékfeladatai 64
2.1.1. Néhány megjegyzés a harmonikus függvényekről 66
2.1.2. A Dirichlet feladat megoldás rácspontmódszerrel 68
2.1.3. A Liebmann féle iterációs eljárás
2.1.4. A Laplace operátor egy jobb közelitése 82
2.1.5. Relaxáció 85
2.1.6. A Dirichlet feladat megoldása Monte-Carlo módszerrel 86
2.1.7. A Dirichlet probléma megoldása analógiás modellel 92
2.1.8. Általánosabb elliptikus differenciálegyenlet 93
2.1.9. A biharmonikus differenciálegyenlet 102
2.1.10. A lemezkihajlásról 104
2.2. Parabolikus tipusú differenciálegyenletek 109
2.2.1. Rácspontmódszer 109
2.2.2. A differencia-eljárás stabilitása a hővezetési differenciálegyenlet megoldásánál 115
2.2.3. Implicit differencia-eljárás a hővezetési differenciálegyenletre 120
2.2.4. A Crank-Nicolson féle implicit módszer
2.2.5. Az egyenletrendszer megoldása Gauss féle eliminációs módszerrel 130
2.2.6. Iteratív pontmódszerek véges differenciaegyenletek megoldására implicit eljárásnál 134
2.2.1. A Jacobi és a Gauss-Seidel módszer 134
2.2.8. Szukcesszív tulrelaxáció 139
2.2.9. Megjegyzés a túlrelaxáció fogalmához 142
2.2.10. Differenciális (második és harmadik) peremfeltételek 143
2.2.11. Kétdimenziós parabolikus differenciálegyenlet 150
2.2.12. Parabolikus differenciálegyenletek henger és
gömbkoordinátákban 53
2.3. Hiperbolikus differenciálegyenletek 157
2.3.1. Hiperbolikus kvázilineáris differenciálegyenlet megoldása a karakterisztikák módszerével 161
2.3.2. Hiperbolikus differenciálegyenletek megoldása rácspont módszerrel 171
2.4. Az egyenesek módszere 176
2.4.1. Az egyenesek módszerének alkalmazása a Poisson
féle differenciálegyenletre 180
3. Az analitikus megoldásokról 189
3.1. Egy hővezetési problémáról 189
4. Kiegészítés a közelítő módszerek alapjaihoz
4.1. Bevezetés 203
4.2. A lineáris vektortér 204
4.3. A vektorok lineáris függőségének fogalma 205
4.4. A belső vagy skaláris szorzat 210
4.5. A lineáris funkcionál 216
4.6. További példák 218
4.1. Függvényrendszer ortogonalizációja 227
4.8. A függvény általános definiciója 232
4.9. A Banach féle fixponttétel 233
Irodalom 244

Témakörök