Differenciálegyenletes modellek a középiskolában

Szerző

Hatvani László

Szerkesztő

Lektor

Szeged

'Hatvani László: Differenciálegyenletes modellek a középiskolában ' összes példány

Kiadó:	JATE Bolyai Intézet
Kiadás helye:	Szeged
Kiadás éve:	1997
Kötés típusa:	Ragasztott papírkötés
Oldalszám:	166 oldal
Sorozatcím:	Polygon Könyvtár
Kötetszám:
Nyelv:	Magyar
Méret:	24 cm x 17 cm
ISBN:

Értesítőt kérek a kiadóról

Értesítőt kérek a sorozatról

A beállítást mentettük,
naponta értesítjük a beérkező friss
kiadványokról

Előszó

A világban minden mozog, változik. A tudománynak az a feladata, hogy e változásokat megismerje, így eszközt adjon az embernek a hozzájuk való alkalmazkodáshoz, sőt, ha lehet, a jobb jövőt biztosító beavatkozáshoz. E megismerés azt is jelenti, hogy bizonyos fokig előre is kell látnunk, meg kell jósolnunk a változásokat. Egyes esetekben ez történhet a valóságos körülmények utánzásával, modellezésével (pl. a repülőgépet szélcsatornába helyezik), de sok esetben - gondoljunk például a Naprendszerben az égitestek mozgására - valóságos modell építése nagyon nehéz, vagy egyszerűen lehetetlen. Ezekben az esetekben a tudomány absztrakt modelleket épít fel. Ez úgy történik, hogy az egyes szaktudományok (fizika, kémia, biológia, közgazdaságtan, stb.) kutatói először megállapítják azokat a számokkal kifejezhető mennyiségi mutatókat, jellemzőket, amelyek megadásával a tanulmányozandó rendszer állapota egy adott időpillanatban meghatározható, ezeket a mennyiségeket a rendszer állapothatározóinak nevezzük. Az alapvető probléma: hogyan lehet az állapothatározókat az idő függvényében előre meghatározni, megjósolni, feltéve, hogy ismerjük kiindulási értékeiket? Ehhez a kutatóknak ki kell deríteni - megfigyelésekkel, mérésekkel, kísérletekkel és sok-sok gondolkodással - a rendszer fejlődéstörvényét, azaz az állapothatározók változásának szabályszerűségét. Ezeket szokás természeti, illetve társadalmi törvényeknek nevezni attól függően, hogy a folyamat a természetben vagy a társadalomban zajlik. Sok esetben ezek a szabályok egy összefüggést fogalmaznak meg az állapothatározók adott pillanatban felvett értéke és változásuknak ugyanazon pillanathoz tartozó sebessége között. Ezekben az esetekben a rendszer absztrakt matematikai modellje egy ú.n. differenciálegyenlet. Tekintsünk egy példát, a radioaktív anyag bomlásának folyamatát. Ebben az esetben az a legtermészetesebb, hogy egy adott i pillanatban még el nem bomlott anyagmennyiséget tekintsük állapothatározónak, jelöljük ezt x(t)-vel. A folyamat teljes leírása az x(t) függvény megadását jelenti a (0,oo) intervallumon, miközben ismerjük az x(0) értéket, vagyis a radioaktív anyag kiindulási mennyiségét. Vissza

Tartalom

Előszó.........................................................................i
Tartalom.....................................................................iii
Bevezetés.....................................................................v
I. Elnevezések és jelölések....................................................1
II. Előkészítő feladatok......................................................11
III. Elsőrendű differenciálegyenletek néhány megoldási módszere............23
3.1. A kezdetiérték-probléma .............................................23
3.2. Speciális elsőrendű differenciálegyenletek .............................25
IV. További modellek........................................................49
4.1. Ortogonális trajektóriák..............................................49
4.2. Harci modellek .......................................................53
4.3. Egy üldözési probléma ...............................................58
4.4. Egy új művelet ......................................................59
4.5. Könyvkölcsönzés .....................................................61
4.6. Egy furcsa pár ...................... ..................................62
4.7. Hógolyók ............................................................68
4.8. Kinek a kávéja melegebb? ............................................69
V. A kezdetiérték-probléma megoldásának létezése és egyértelműsége......73
5.1. A fokozatos közelítés módszere .......................................75
5.2. A „törött vonal"-módszer ............................................82
5.3. A megoldások folytathatóságáról .....................................86
5.4. Differenciálegyenlet-rendszerek .......................................88
VI. Másodrendű differenciálegyenletek......................................91
6.1. Lineáris másodrendű egyenletek ......................................93
6.2. Konstans együtthatós homogén egyenlet ..............................96
6.3. Az inhomogén egyenlet..............................................101
6.4. Mechanikai rezgések ................................................111
6.5. Elektromos rezgések ................................................119
VII. Kvalitatív vizsgálatok..................................................123
7.1. A Lotka-Volterra-modell ...........................................123
7.2. A trajektóriák tulajdonságai ........................................134
7.3. Stabilitás ...........................................................140
7.4. A matematikai inga.................................................145
Függelék..................................................................149
A. A függvény fogalma.................................................149
B. Sorozatok, sorok ....................................................151
C. Folytonosság, differenciálhatóság ....................................153
D. Integrál .............................................................160
Irodalom...................................................................163
Név- és tárgymutató.......................................................165

Témakörök

Megvásárolható példányok

Nincs megvásárolható példány
A könyv összes megrendelhető példánya elfogyott. Ha kívánja, előjegyezheti a könyvet, és amint a könyv egy újabb példánya elérhető lesz, értesítjük.

Előjegyzem