Matematika IV.

Tartalom

I. Az integrál és alkalmazásai 11
A sokszögek területe 11
Bevezetés 11
A paralelogramma területe 12
Sokszögek területe 14
A kör területe 16
Az integrál fogalma 18
Példák különböző síkidomok területének meghatározására 18
Alsó és felső közelítő összegek 22
További példa síkidom területének meghatározására 25
Egy példa a fizikából 27
A határozott integrál fogalma 27
Két tétel az integrálhatóságról 29
A határozott integrál tulajdonságai 32
A határozott integrál és a terület 36
A határozott integrál néhány további tulajdonsága 38
Az integrál mint a felső határ függvénye 41
A primitív függvény fogalma 46
A határozatlan integrál néhány tulajdonsága 47
A Newton-Leibniz-tétel 48
Néhány további integrálási példa 51
Integrálás helyettesítéssel 53
Területszámítás az integrál segítségével 54
Néhány alakzat tömegközéppontja 59
Az integrálszámítás néhány további alkalmazása 62
Az integrálszámítás alkalmazása néhány sorozat határértékének megállapítására 68
Az integrál közelítő kiszámítása 70
Térfogatszámítás 73
Bevezetés 73
Poliéderek térfogata 77
Bevezetés 77
Téglatest térfogata 77
Az egyenes hasáb térfogata 80
A ferde hasáb térfogata 81
A gúla térfogata 81
A csonkagúla térfogata 83
Henger és kúp térfogata 83
Forgástestek térfogata 85
Néhány megjegyzés testek felszínéről 87
Egyenes körhenger felszíne 87
Egyenes kúp felszíne 88
Egyenes csonkakúp felszíne 88
Gömb felszíne 89
Az improprius integrál fogalma 89
Végtelen sorok 95
Hatványsorok 100
Rövid történeti áttekintés 105
II. Térgeometriai fogalmak 109
Térelemek illeszkedése 109
Térelemek szöge 111
a) Két kitérő egyenes hajlásszöge 111
b) Síkra merőleges egyenes 111
c) Egyenes és sík hajlásszöge 113
d) Két sík hajlásszöge 114
Síkidomok vetületének területe 117
Térelemek távolsága 120
a) Pontnak síktól mért távolsága 121
b) Két kitérő egyenes távolsága 121
Poliéderek 125
Szabályos testek 129
Testekhez kapcsolódó fogalmak, elnevezések 131
III. Néhány számítógép-tudományi kérdés 137
Bevezetés 137
A számítógép rövid története 137
Az információ 139
Kód, kódolás; információhordozók; memória; az információ ábrázolása 144
AJ Kód, kódolás 144
B) Információhordozók 145
C) Memória 145
D) Az információ ábrázolása 147
a) Számok ábrázolása 147
b) Alfanumerikus adatok ábrázolása 148
c) Utasítások ábrázolása 148
Digitális számítógép-véges állapotú gép 149
Turing-gép 153
Programnyelvek, fordítás; aritmetikai kifejezések fordítása; lengyel forma 160
Algoritmusok 166
IV. Kombinatorika 171
Bevezető példák 171
Néhány példa a kombinatorikus geometriából 179
A logikai szita formula 184
Néhány színezési feladat 186
Bevezető példák 186
Az ötszíntétel bizonyítása 192
További példák a színezéssel kapcsolatban 196
Hamilton-körök 198
Bevezető példák 198
Dirac tétele 200
Euler-vonal 204
Síkba rajzolható gráfokról 207
További példák 209
Példák vegyes témákból 212
V. Valószínűségszámítás 221
Néhány statisztikai fogalom (Olvasmány) 221
Középértékek (Helyzetparaméterek) 222
Modus 223
Medián 223
Számtani közép 226
A szóródás mérőszámai 229
Valószínűségi változók 232
Együttes eloszlás 239
Valószínűségi változók összege 243
Valószínűségi változók jellemzői 245
A várható érték tulajdonságai 246
A szórásnégyzet tulajdonságai 253
A nagy számok törvénye (Kiegészítő anyag) 255
Markov-egyenlőtlenség 256
Csebisev-egyenlőtlenség 256
Van-e a véletlen számoknak kiegyenlítődési hajlama? (Olvasmány) 259
VI. Rendszerező összefoglalás 210
Halmazok 264
Alapfogalmak, jelölések 264
Néhány halmazművelet definíciója, tulajdonságai 265
a) Unióképzés 265
b) Metszetképzés 266
c) Különbségképzés 266
A számokról 270
A természetes számok 270
Számrendszerek 270
Racionális számok 272
Irracionális számok 274
Egyenletek, egyenlőtlenségek 277
Az alaphalmaz fogalma; az egyenlet, egyenlőtlenség megoldásának fogalma 280
Az alaphalmaz, valamint a bal és a jobb oldal értékkészletének szerepe az egyenlet megoldásának keresésében 282
Egyismeretlenes algebrai egyenletek 285
Elsőfokú egyenletek 286
Másodfokú egyenletek 286
A magasabb fokú egyenletek megoldásáról 289
Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások 291
Az egyenletrendszerek megoldásáról 298
AJ A lineáris egyenletrendszerekről 299
B) A magasabb fokú egyenletrendszerekről 303
Egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek megoldásáról 309
Lineáris programozási feladatokról 313
Az azonosság fogalma 314
Nevezetes azonosságok 315
[Az analízis elemei 318
A függvény fogalma 318
A függvény grafikonja 319
Függvények megadása 320
Műveletek függvényekkel 321
A függvények néhány nevezetes tulajdonsága 323
Elemi függvények 325
Függvények ábrázolása függvény-transzformáció segítségével 330
Sorozatok 332
A számtani és a mértani sorozat 334
Konvergens sorozatok 336
Függvény folytonossága 339
Függvény határértéke 341
A derivált 343
Néhány nevezetes függvény deriváltja 343
Műveletek differenciálható függvényekkel 344
A differenciálható függvények néhány tulajdonsága 345
A derivált néhány alkalmazása 345
A határozott integrál 348
A határozott integrál néhány tulajdonsága 349
Az integrál mint a felső határ függvénye 350
A primitív függvény fogalma; a Newton-Leibniz-tétel 351
Az integrál néhány alkalmazása 353
Geometria 354
Bevezetés 354
A geometriai szerkesztésekről 359
A geometriai transzformációkról 362
Az egybevágósági transzformációkról 368
I. A sík önmagára történő távolságtartó leképezéseiről 368
II. A tér önmagára történő távolságtartó leképezéseiről 372
Alakzatok egybevágósága, alakzatok egybevágóságának tulajdonságai 373
Háromszögek egybevágósága 373
Szimmetrikus alakzatok 375
1. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok 375
2. Középpontosan szimmetrikus alakzatok 377
A párhuzamos szelők tétele 379
A párhuzamos szelők tételének megfordítása 383
A párhuzamos szelőszakaszok tétele 384
Hasonlósági transzformációk 385
Középpontos hasonlóság 385
Hasonlósági transzformáció 387
Alakzatok hasonlósága, alakzatok hasonlóságának tulajdonságai 389
Háromszögek hasonlósága 389
Néhány nevezetes tétel 390
Hasonló síkidomok területének aránya 394
Síkidomok tulajdonságainak és az elemi geometria megismert összefüggéseinek áttekintése 398
I. Háromszögekre vonatkozó ismeretek 398
Összefüggés a háromszög oldalai között 398
Összefüggés a háromszög szögei között 398
Összefüggés a háromszög oldalai és szögei között 398
A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai 400
1. A háromszögek középvonalai 400
2. A háromszögek oldalfelező merőlegesei 401
3. A háromszögek szögfelező egyenesei 403
4. A háromszögek magasságvonalai 405
5. A háromszögek súlyvonalai
II. Négyszögekre, sokszögekre vonatkozó ismeretek 408
1. A négyszögek áttekintése 408
2. A paralelogrammákról 410
3. A négyszögek középvonalai 413
4. A paralelogrammák középvonalai 413
5. A trapézok középvonalai 413
6. Konvex sokszög átlóinak száma, belső szögeinek összege 414
III. Körre vonatkozó ismeretek 416
1. Kört érintő egyenes 416
2. Külső pontból körhöz húzott érintők 417
3. A középponti szög, a hozzá tartozó körív és körcikk 417
4. Szögek mérése 419
Kerületi szögek; középponti és kerületi szögek tétele 420
Thalész tétele és megfordítása 423
Kerületi szögek tétele; látószög-körív 424
A húrnégyszögek tétele és megfordítása 426
Az érintőnégyszögek tétele és megfordítása 427
Vektorok 431
Bevezetés 431
Vektorok összegezése; két vektor különbsége 432
Vektor szorzása számmal 434
Vektor felbontása összetevőkre 435
Koordináta-rendszerek 437
1. A számegyenes 437
2. Síkbeli koordináta-rendszerek 437
3. Térbeli koordináta-rendszerek 438
Két vektor skaláris szorzata 439
Trigonometria 442
A szögfüggvényfogalom bevezetése 442
Nevezetes szögek szögfüggvényértékei 444
A háromszög területének kiszámítása adott két oldalból és a közbezárt
szögből 445
A sinus- és cosinus tétel 446
Összegezési tételek 446
Koordináta-geometria 449
Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal 449
Vektor hossza, két pont távolsága 450
Szakaszt adott m: n arányban osztó pont meghatározása 451
A háromszög súlypontjának meghatározása 453
Vonal egyenlete 453
Az egyenes irányvektorának, normálvektorának, iránytangensének fogalma 454
Az egyenes egyenlete 455
Adott ponton áthaladó, adott irányvektorú egyenes egyenlete 456
Adott ponton áthaladó, adott normálvektorú egyenes egyenlete 456
Adott ponton áthaladó, adott iránytangensű egyenes egyenlete 457
Két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének szükséges és elégséges feltétele 458
A kör egyenlete 458
A parabola, az ellipszis, a hiperbola egyenlete 459
Kúpszeletek 461
Néhány megjegyzés a bizonyításokról 467
VII. A matematika néhány filozófiai kérdése (Olvasmány) 477
A matematikai fogalmak fejlődése 477
A függvény fogalmának fejlődése 480
A matematika fejlődésének külső és belső hajtóerői - a matematika és az alkalmazások 482
A matematika módszerei - az igazság fogalma a matematikában 487

Témakörök