Geometria

Tartalom

GEOMETRIA
Előszó 3
BEVEZETÉS
A GEOMETRIAI ALAKZAT MINT PONTHALMAZ
1. §. Alapfogalmak és definíciók a geometriában 5
2. §. Axiómák és tételek 6
3. §. A geometriai alakzat mint ponthalmaz 8
4. §. Alakzatok közös része. Példák. Kúpszeletek 17
5. §. Alakzatok egyesítése 27
6. §. Azonosítás 28
GEOMETRIAI SZERKESZTÉSEK
7. §. Mértani helyek .
8. §. A mértani helyek módszerének szerkesztési feladatok megoldására való alkalmazása 48
9. §. A geometriai szerkesztési feladat és megoldása 52
10. §. Szerkesztések körző és vonalzó felhasználásával 54
11. §. A szerkesztési feladatok megoldásának egyéb különböző eszköze 62
12. §. Példák körző és vonalzó segítségével meg nem oldható feladatokra 72
& ALAKZATOK TRANSZFORMÁCIÓJA
13- Egy alakzatnak egy másik alakzatba való leképezése 88
14. §. Alakzatok kölcsönösen egyértelmű leképezése 93
15. §. Alakzatok folytonos leképezése 96
16. A sík és a tér önmagába való transzformálásának fogalma 100
§. A sztereografikus projekció 104
18. §. A centrális projekció fogalma 111
19. §. A transzformációs csoport fogalma 113
§. A csoport általános fogalma 115
ELEMI GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
PÁRHUZAMOS ELTOLÁS
21. §. A párhuzamos egyenesek 122
22. §. A párhuzamos eltolások a síkon 125
23. §. A sík adott egyenessel párhuzamos eltolásainak csoportja 30
26. §. A párhuzamos eltolás módszerének alkalmazása a geometriai szerkesztésekben 141
27. §. A párhuzamos eltolások csoportja a térben 143
AZ ELFORGATÁS
28. §. A sík önmagába transzformálása adott pont körüli elforgatás útján 147
29. §. A sík mozgáscsoportja 150
30. §. Az elforgatás módszerének alkalmazása a geometriai szerkesztésekben 154
31. §. A tér tengely körüli elforgatása 157
32. §. A forgásfelületek 161
33. §. A tér pont körüli forgatása 166
34. §. A tér mozgáscsoportja 168
35. §. A szabályos gúla forgáscsoportja 173
A SZIMMETRIA
37. §. Tengelyes szimmetria a síkon 177
38. §. Középpontos szimmetria a síkon 182
..39. §. A tükrözés módszerének felhasználása szerkesztési feladatok megoldásában 183
40. §. A tér síkra vonatkoztatott szimmetriája 185
41. §. A tér középpontos szimmetriája 187
42. Alakzatok szimmetriája a síkon 188
43. §. Alakzatok szimmetriája a térben 193
A HASONLÓSÁG
44. §. A homotétia. (A sík középpontos hasonlósági transzformációja) 197
45. 8. Körök hasonlósága 201
46 s. A közös középpontú hasonlósági transzformációk csoportja 203
47 A síkalakzatok hasonlóságának általános esete 205
A hasonlósági transzformáció módszerének alkalmazása szerkesztési feladatok megoldására 210
AZ INVERZIÓ
49. §. Inverzió a síkon 213
50. §. Inverzió a térben 224
51. §. Az inverzió alkalmazása a geometriai szerkesztésekben 225
52. §. Apollonius feladata 230
HOSSZÚSÁG-, TERÜLET- ÉS TÉRFOGATMÉRÉS
A HOSSZÚSÁG-, TERÜLET- ÉS TÉRFOGATMÉRÉS ÁLTALÁNOS FELADATA
53. §. Egyenesszakaszok összehasonlítása 234
54. §. A szakaszmérés általános feladata 239
55. §: A szakaszhossz összefüggése a mértékegység megválasztásával 249
56. §. Területek összehasonlítása a síkon 253
57. §. Sokszögek átalakítása 261
58. §. Az egyszerű sokszögek területmérési feladata 266
59. §. A síkalakzat területének fogalma 273
60. §. A térfogatmérés feladatának fogalma 276
A GEOMETRIA ALAPJAINAK ELEMEI ÉS LOBACSEVSZKIJ GEOMETRIÁJA
EUKLIDES »ELEMEI«
Euklides »Elemeinek« áttekintése 279
Az Elemek történelmi jelentősége. Euklides művének érdemei és hibái 287
LOBACSEVSZKIJ GEOMETRIÁJA
A háromszög szögösszegére vonatkozó tételek 293
A párhuzamossági axióma különböző alakjai az euklidesi geometriában 299
65. §. Lobacsevszkij axiómája 305
66. 1 Lobacsevszkij geometriájának elemi tényei 306
67. §. Az egyenesek kölcsönös helyzete a Lobacsevszkij-síkon. 309
68. §. A területmérés fogalma 321
A GEOMETRIA AXIOMATIKUS FELÉPÍTÉSE
69. §. A geometria alapvető tárgyai és a tárgyak közti alapvető viszonylatok 323
70. §. Első axiómacsoport : összetartozási vagy illeszkedési axiómák 326
71. §. Második axiómacsoport : rendezési axiómák 328
72. §. Harmadik axiómacsoport: egybevágósági axiómák 330
73. §. Negyedik axiómacsoport: a párhuzamosok axiómája 333
74. §. Ötödik axiómacsoport: folytonossági axiómák 334
75. §. Az axiómák egyenértékűségének fogalma 335
76. §. A mozgás axiómái 337
A GEOMETRIAI RENDSZEREK MEGVALÓSÍTÁSÁNAK GONDOLATA
77. §. Az euklidesi síkgeometria különböző modelljei 338
78. §. Az euklidesi térgeometria Fjodorovtól származó modellje 343
79. §. A Lobacsevszkij-geometria modelljei az euklidesi síkon 346
BEFEJEZÉS
80. §. Az axiómarendszerrel szemben támasztott követelmények 354
Irodalom 357

Témakörök