Algebra

Tartalom

I. fejezet: Félcsoportok
1.§. Félcsoport fogalma 7
2.§. Kitüntetett elemek félcsoportban 9
3.§. Elem hatványai 11
4.§. Példák 12
5.§. Izomorfizmus, homomorfizmus 14
6.§. Az izomorfia-elv 15
7.§. Ekvivalencia- és kongruencia-reláció 16
8.§. Kompatibilis osztályozás és epimorfizmus 18
9.§. Feladatok 19
II. fejezet: Csoportok
1.§. Csoport axiómái 22
2.§. Komplexusok 25
3.§. Részcsoportok 26
4.§. Példák 28
5.§. Ciklikus csoportok 30
6.§. Fontos véges csoportok; Cayley-táblázat 31
7.§. Mellékosztályok. Lagrange tétele 34
8.§. Normális részcsoportok 36
9.§. Faktorcsoport 38
10.§. Izomorfizmus-tételek 41
11.§. Normállánc. Jordan-Hölder tétele 43
12.§. Permutáció-csoportok 46
13.§. Direkt szorzat 52
14.§. Véges Abel-csoportok 56
15.§. Centrum, centralizátor. Normalizátor 61
16.§. Sylow tételei 65
17.§. Szabad csoportok 67
18.§. Csoportok megadása definiáló relációkkal 71
19.§. Operátor-csoportok 74
20.§. Feladatok 76
III. fejezet: Gyűrűk
1.§. Gyűrű definíciója 82
2.§. Gyűrűk kitüntetett elemei 84
3.§. Test definíciója 86
4.§. Példák 87
5.§. Ideálok 89
6.§. Maradékosztálygyűrű 92
7.§. Izomorfizmus, homomorfizmus 94
8.§. Beágyazási tételek 97
9.§. Nullosztómentes gyűrűk. Prímtestek 102
10.§. Egyértelmű prímfaktorizáció 103
11.§. Főideálgyűrűk és euklideszi gyűrűk 106
12.§. Noether-féle gyűrűk 109
13.§. Dedekind-gyűrűk 111
14.§. Teljes mátrixgyűrűk 115
15.§. Féligegyszerű gyűrűk 120
16.§. Egyszerű gyűrűk 124
17.§. Feladatok 127
IV. fejezet: Modulusok és algebrák
1.§. Modulusok, vektor-terek 132
2.§. R-homomorfizmusok 135
3.§. Szabad és projektív R-modulusok 140
4.§. Kategóriák és funktorok 145
5.§. Algebrák 148
6.§. Frobenius tétele 150
7.§. Alternatív algebrák 154
8.§. Lie- és Jordan-algebrák 157
9.§. Feladatok 159
V. fejezet: Hálók; részben rendezett csoportok és testek
1.§. Részben rendezett halmazok 161
2.§. Hálók 164
3.§. Moduláris hálók 168
4.§. Moduláris hálókra vonatkozó tételek 172
5.§. Disztributív hálók 177
6.§. Boole-algebrák 182
7.§. Reprezentációs tétel 187
8.§. Teljes hálók 189
9.§. Rendezett csoportok 190
10.§. Rendezett gyűrűk és testek 193
11.§. Feladatok 196
VI. fejezet: Kommutatív testek
1.§. Testbővítés 199
2.§. Algebrai és transzcendens elem 201
3.§. Testbővítések izomorfizmusa 207
4.§. Egyszerű testbővítések exisztenciája 209
5.§. Algebrai testbővítések 211
6.§. Felbontási test 212
7.§. Normális testbővítések 216
8.§. Szeparábilis és inszeparábilis polinomok 218
9.§. Véges testek 224
10.§. A Galois-csoport 227
11.§. A Galois-elmélet főtétele 233
12.§. Binom egyenletek 239
13.§. Egyenletek megoldása gyökjelekkel 243
14.§. Az általános n-edfokú egyenlet 247
15.§. Geometriai szerkeszthetőség elmélete 249
16.§. Nevezetes szerkesztési feladatok 252
17.§. Feladatok 255
Ajánlott irodalom 257
Tárgymutató 258

Témakörök