Fejezetek matematikából

Tartalom

1. Vektoralgebra 3
1.1 A vektor fogalma 3
1.2 Szabad vektor9 hatásvonalhoz kötött vektor, kötött vektor 4
1.3 Vektorok egyenlősége 4
1.4 Vektorok összeadása 5
1.5 Vektor szorzása számmal /skalárral/ 7
1.6 Két vektor skaláris szorzata 8
1.7 Vektorok lineáris függetlensége 11
1.8 Derékszögű alaprendszer 12
1.9 Műveletek elvégzése derékszögű koordinátáikkal megadott vektorok esetén 14
1.10 n-méretű vektorok 16
2. Mátrix algebra 21
2.1 Bevezetés 21
2.2 Mátrix definíciója 23
2.3 Mátrixok egyenlősége 25
2.4 Zérus mátrix 26
2.5 Kivonás 26
2.6 Mátrix számmal való szorzása 27
2.7 Matrixnak mátrixszal való szorzása 28
2.8 Disztributivitás 31
2.9 Egység mátrix 31
2.10 Mátrix transzponálása 32
2.11 Négyzetes mátrix felbontása szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix összegére 34
2.12 Mátrixok szorzata asszociatív 37
2.13 Adjungált mátrix 37
2.14 Reguláris mátrix. Szinguláris mátrix 40
2.15 Reciprok /inverz/ mátrix 40
2.16 Cramer-szabály 43
2.17 Négyzetes mátrix sajátértékei 45
2.18 A Hamilton-Cayley-féle tétel 47
3. Komplex számok 50
3.1 Bevezetés 50
3.2 Komplex szám abszolút értéke és arcusza 51
3.3 Komplex számok egyenlősége 52
3.4 Komplex számok összeadása 52
3.41 Kivonás 53
3.5 Komplex számok szorzása 53
3.6 Komplex számok szokásos jelölése, a képzetes egység 54
3.7 Komplex számok szorzásának geometriai jelentése 55
3.8 Komplex szám konjugáltja 57
3.9 Osztás 58
3.10 Hatványozás 59
3.11 Gyökvonás 59
3.12 Alkalmazások 61
3.13 Az arcusz függvény 64
4. A komplex függvénytan elemei 68
4.1 Bevezetés 68
4.2 folytonosság 69
4.3 Differenciálhatóság 69
4.4 Reguláris függvények 70
4.5 A Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek 71
4.6 A differenciálhatóság elégséges feltételei 71
4.7 Konformis leképezés73
4.8 A Cauchy-Riemann-egyenletek szemléletes jelentése 76
4.9 Komplex változós függvény integrálja 79
4.10 A síkbeli Gauss-Stokes-tétel 82
4.11 A Cauchy-féle alaptétel 35
4.12 Egy tétel a függvénysorokról 83
4.13 A Cauchy-féle integrál képlet 39
4.14 Taylor-sor 91
4.15 Laurent-sor 92
4.16 Példák és megjegyzések 95
4.17 A lineáris törtfüggvényről 96
A Laplace-transzformációról 99
5.1 A függvény transzformáció fogalma 99
5.2 A konvergencia egy elégséges feltétele 100
5.3 F(t) deriváltjának Laplace-transzformáltja 101
5.4 Magasabbrendü deriváltak Laplace-transzformáltja 103
5.5 A Laplace-transzformáció lineáris művelet 103
5.6 Példák 104
5.7 Az F(T) d(T) Laplace-transzformáltja 106
5.8 Eltolási tételek 106
5.9 A képfüggvény differenciálása 110
5.10 Az f(s) ds inverz Laplace-transzformáltja 111
5.11 A konvolució tétele 112
5.12 A Heaviside-féle felbontási tétel 115
5.13 Folytatás 118
5.14 Folytatás 119
5.15 1. és II. táblázat 121
Vektoranalízis 126
6.1 Skalár mennyiség 126
6.2 Derékszögű koordinátatranszformáció 126
6.21 Skalár invariáns 128
6.3 Vektori szorzat 130
6.31 Három vektor vegyes szorzata 132
6.32 Kettős vektori szorzat 133
6.4 Megjegyzés 135
6.5 Másodfokú tenzor /a három méretű térben/ 135
6.6 Tenzor skalár invariánsai 140
6.7 Tenzor vektor invariánsa 141
6.8 Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzor 142
6.9 Két tenzor skaláris szorzata 142
6.10 Skaláreloszlás ábrázolása. Gradiens 143
6.11 Iránymenti derivált 147
6.12 A Hamilton-operátor 148
6.13 Vektoreloszlás 149
6.14 A vektortér ábrázolása, vektorvonalak 150
6.15 Derivált tenzor Divergencia, rotáció 151
6 . 16 Laplace-féle operátor 154
6.17 Görbevonalu koordináták 155
6.18 A gradiens vektor kifejezése ortogonális görbevonalú koordináta rendszerben 162
6.19 Vektor felbontása ortogonális görbevonalú koordináta rendszerben 162
6.20 Vektoreloszlás divergenciájának koordináta rendszertől független definíciója 162
6.21 Vektoreloszlás rotációjának koordináta rendszertől független definíciója 164
6.22 A Laplace-kifejezés ortogonális görbevonalú koordinátákban 166
6.221 összefoglalás 166
7. Differenciálegyenletek 168
7.1 Elsőrendű közönséges differenciál egyenlet. Izoklinák 168
7.2 Elemi integrálási eljárások. Multiplikátor 169
7.3 Szétválasztható differenciálegyenlet 173
7.41 Homogén differenciálegyenlet 174
7.42 Az y'=f ( ax + by + c ) differenciálegyenlet 176
7.5 Lineáris differenciálegyenlet 177
7.6 Bernoulli-féle differenciálegyenlet 182
7.7 Riccati-féle differenciálegyenlet 182
7.8 Az y'=f (x, y) differenciálegyenlet megoldásainak exisztenciája 184
7.9 yf = f ( x, y) megoldása, ha a jobboldal hatványsorba fejthető 193
7.10 A határozatlan együtthatók módszere 194
8. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek 196
8.1 Bevezetés 196
8.2 A homogén egyenlet megoldása 197
8.3 A homogén egyenlet általános megoldásának meghatározása, ha egy partikuláris megoldása ismeretes 201
8.4 Állandó együtthatójú homogén másodrendű differenciálegyenlet 202
8.5 Euler-féle differenciálegyenlet 205
8.6 Inhomogén lineáris differenciálegyenlet eg partikuláris megoldásának megkeresése az állandók variálásának módszere 206
9. Bessel-féle differenciálegyenlet 210
9.1 Zérus-rendű Bessel-függvények 210
9.2 n-edrendű elsőfajú Bessel-függvény 214
9.3 Avparameter nem egész szám 217
9.4 Az Y (x) függvény 218
10. Lineáris differenciál egyenletrendszerről 220
11. Elsőrendű differenciálegyenlet szinguláris pontjai 222
11.1 Az y' = g + egyenlet 222
11.2 Folytatás 224
12. Parciális differenciálegyenletek 226
12.1 Bevezetés 226
12.2 A lineáris másodrendű parciális differenciálegyenlet két független változóval 228
12.3 A kezdeti feltétel analitikus megadása
Karakterisztikák 229
12.4 Karakterisztikákra való transzformálás 231
12.5 Osztályozás
12.6 A redukció /folytatás/ 238
12.7 Példák 240
12.8 A háromdimenziós lineáris másodrendű differenciálegyenlet transzformációja 246
12.9 Kerületérték feladatok 247
12.10 Közönséges differenciálegyenletre való redukálás lehetősége 254
12.11 Az u" xx+U" yy+u= 0 egyenlet néhány nevezetes transzformációja 256
13. Egyenlet, karakterisztikák, szakadásos megoldás 263
13.1 Bevezetés 263
13.2 Az egyméretű hullámegyenlet levezetése, a rezgő húr egyenlete 263
13.3 Rúd tengelyirányú rezgései 268
13.4 Példa a rezgő húr egyenletének szakadásos megoldására 272
Irodalomjegyzék 276

Témakörök