Fejezetek az elemi geometriából

Tartalom

Jelölések — összefüggések 7
1. Geometriai egyenlőtlenségek 9
1.1. A háromszög-egyenlőtlenség 9
1.2. A sugáregyenlőtlenség 12
1.3. Trigonometriai egyenlőtlenségek 16
1.4. Az Erdős—Mordell-egyenlőtlenség 21
1.5. Feladatok 24
2. A síkbeli egybevágóságok és* hasonlóságok összefoglalása 27
2.1. A síkbeli egybevágóságok alaptételei 27
2.2. A tengelyes tükrözések 31
2.3. Az egybevágóságok osztályozása 33
2.4. Az egybevágóságok csoportja 35
2.5. Irányítástartó egybevágóságok 36
2.6. Irányításváltó egybevágóságok 42
2.7. A síkbeli hasonlóságok áttekintése 45
2.8. A nyújtva forgatás 50
2.9. Feladatok 56
3. Geometria a komplex számsíkon 60
3.1. A komplex számsík; műveletek a komplex számok körében; transzformációk 60
3.2. Hasonló háromszögek 64
3.3. A kör húrjai 69
3.4. Szabályos sokszögek 73
3.5. Az egyenes és a kör egyenlete; az inverzió 74
3.6. Feladatok 85
4. Síkbeli konvex alakzatok 87
4.1. A konvex alakzat fogalma 87
4.2. Konvex alakzatok közös része; a konvex burok 89
4.3. A síkbeli Helly-tétel 90
4.4. Helly tétele végtelen sok konvex alakzatra (olvasmány) 94
4.5. Példák Helly tételének alkalmazására 97
4.6. Feladatok 103
5. Kombinatorikus problémák a ponthalmazok és egyeneshalmazok köréből 106
5.1. Feladatok 116
6. Rácsgeometria 118
6.1. Paralelogramma-rácsok 118
6.2. Négyzetrács; rácssokszögek területe 119
6.3. Szabályos rácssokszögek 123
6.4. Az egyenes rácspontjai 125
6.5. Feladatok 128
7. A geometria alapjairól 131
7.1. Euklidész axiomatikája 131
7.2. Hilbert axiómarendszere 132
7.3. Az axiómarendszer modellje 134
7.4. Az axiómatizálás elvi kérdéseiről 135
7.5. Az euklidészi sík egy axiómarendszere 138
7.6. Az axiomatika és az iskolai geometria 140
7.7. Bolyai János geometriai munkásságáról 142
7.8. A hiperbolikus geometria és a valóság 148
8. Véges geometriák 150
8.1. A projektív sík 150
8.2. A véges projektív síkok axiomatikus felépítése 152
8.3. A véges projektív sík axiómarendszerének modelljei 155
8.4. A véges affin síkok 157
8.5. A véges affin és projektív síkok egy szerkesztési módjáról (olvasmány) 159
8.6. A véges projektív síkok illeszkedési mátrixának egy szélsőérték-tulajdonsága (olvasmány) 16g
8.7. Feladatok 172
9. A tetraéder geometriájából 175
9.1. A tetraéder térfogata; a térfogatkoordináták 175
9.2. A tetraéder bennfoglaló paralelepipedonja 179
9.3. A tetraéder nevezetes pontjai; a súlypont; a tetraéder köré írt gömb 181
9.4. A tetraéder lapsíkjainak érintőgömbjei 185
9.5. A magasságpontos tetraéder 187
9.6. Az egyenlő oldalú tetraéder 190
9.7. Egyenlőtlenségek a tetraéderek geometriájában 197
9.8. Képletgyűjtemény 202
9.9. Feladatok 203

Témakörök