Valós függvénytani alapismeretek

Tartalom

1. A Riemann-féle integrálfogalom általánosításairól ..................3
1.1 A Riemann-integrállal kapcsolatban felmerülő problémákról 4
1. 2 Az integrálfogalom általánosításinak alapgondolatai ..........10
1.3 A Jordán- ill. Jordán-Stieltjes mérték alaptulajdonságai . 11
1.4 Feladatok ..................................................................15
2. Mértékelmélet alapjai ...................................17
2.1 A gyűrűk, mezők és 6 algebrák tulajdonságai....................17
2. 2 Additiv és teljesen additív halmazfüggvények és mértékek . 27
2. 3 Mértékek és ©-mértékek generálása..............................33
2.4 A Borel-, a Lebesgue- és a Lebesgue-Stieltjes mértékről . 43
2.5 Feladatok ..................................................................45
3. Monoton függvények, korlátos változású függvények ..............4 9
3.1 Monoton függvények......................................................53
3.2 Monoton függvények differenciálhatósága ........................59
3. 3 Korlátos változású függvények ..................................68
3.4 Korlátos változású függvényosztályok ..............................74
3. 5 Korlátos változású függvények szerkezete ........................79
3.6 Feladatok ................................................................85
4. Integrálelmélet ................................................................89
4. 1 Mérhető numerikus függvények ..................................89
4.2 Elemi függvények és integráljuk ..................................94
4. 3 Nemnegativ mérhető függvények integrálja........................96
4.4 Mérhető függvények L. S. -integrálhatósága........................101
4.5 Majdnem mindenütt teljesülő tulajdonságok........................103
4.6 "A" halmazon vett integrál ............................................105
4.7 JL p(/ul) függvényosztály ..............................................107
4.8 Konvergencia tételek....................................................H2
4.9 Néhnny megjegyzés a Lebesgue-és Riemann-integrálról . . 122
4.10 Sűrűséggel vett mérték és ehhez tartozó LebesgueStieltjes-lntegrál ...................128
4.11 Integráltranszformáció, azaz leképezésnél a képmértékre vonatkozó integrálás .................... 138
4.12 Szorzattereken vett L.S.-integrálok ..............................140
4.13 Megjegyzés mérhető függvények folytonos függvényekkel való közütéséről ....................................144
4.14 Feladatok .....................................145
5. Határozatlan Lebesgue-integrál............................................148
5.1 A differenciálhányados integrálhatóságáról ....................148
5.2 Határozatlan Lebesgue-integrál ..................................150
5.3 Korlátos variációjú függvény előállítása abszolút folytonos, szinguláris és ugrófüggvény alakjában .......159
5.4 Abszolút-folytonos halmazfüggvények és alkalmazásuk a határozatlan integrálnál .............161
5. 5 Feladatok..................................................................163
Függelék ............................................................................165
Irodalomjegyzék .......,. ................................................169

Témakörök