Matematika

Tartalom

1. A SZÁMFOGALOM FELÉPÍTÉSE (Kiss Anna) 3
1.1. Természetes számok. A természetes számok halmaza. Műveletek természetes számokkal 3
1.2. Az egész számok. Műveletek egész számokkal 7
1.3. A törtszámok 9
1.3.1. Egész számok és törtszámok ábrázolása 9
1.3.2. Műveletek törtszámokkal 11
1.3.3. Tizedes törtek. Közönséges törtek felírása tizedes tört alakban 13
1.4. A racionális számok halmaza 15
1.5. Irracionális számok 16
1.6. Műveleti azonosságok a valós számok körében 17
2. SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS (Kiss Anna) 19
3. ARÁNY, ARÁNYOS OSZTÁS, ARÁNYPÁR (Kiss Anna) 21
4. SZÁMELMÉLETI ALAPISMERETEK (Kiss Anna) 23
5. ALGEBRA ÉS FÜGGVÉNYTAN (Exner Hehnutné, Gémesi Antalné, Kiss Anna) 27
5.1. A hatványozás fogalma, azonosságai 27
5.2. Polinomok 30
5.3. Műveletek polinomokkal 32
5.4. Racionális törtkifejezések. Műveletek racionális törtekkel 37
5.5. Halmazok 41
5.5.1. Véges halmaz. Végtelen halmaz. Üres halmaz 42
5.5.2. Műveletek halmazokkal 43
5.6. Függvények 48
5. 6.1. Alapfogalmak 48
5.6.2. Függvények grafikus ábrázolása 54
5.6.3. Racionális egész függvények 62
5.6.4. Racionális törtfüggvények 71
5.6. 5. Függvénytranszformációk 72
5.7. Egyenletek 79
5.7.1. Lineáris egy ismeretlenes egyenletek grafikus megoldása 79
5.7.2. Lineáris egyismeretlenes egyenletek algebrai megoldása 82
5.7.3. Paraméteres egyenletek 87
5.7.4. Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása 91
5.7.5. Kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása 93
5.7.6. Három- és többismeretlenes egyenletrendszerek 93
5.8. Egyenlőtlenségek 101
5. 8.1. Elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenségek 105
5.8.2. Elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek 107
5.9. Négyzetgyökvonás 114
5.9.1. A négyzetgyök fogalma 114
5.9.2. Azonosságok a négyzetgyökös kifejezések körében 117
5.9.3. A nevező gyöktelenítése 120
5.9.4. Az y = gyök x függvény 121
5.10. A másodfokú függvény 126
5.10.1. A másodfokú függvény vizsgálata és ábrázolása 126
5.10.2. Szélső értékek kiszámítása I34
5.11. Az inverz függvény 138
5.12. Másodfokú egyenlet 145
5.12.1. A másodfokú egyenlet és másodfokú egyenlőtlenség grafikus megoldása 146
5.12.2. A másodfokú egyenlet algebrai megoldása 153
5.12.3. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa 157
5.12.4. Gyöktényezős alak. Összefüggés a gyökök és együtthatók között 160
5.12. 5. Szöveges feladatok 164
5.12.6. Másodfokú egyenlőtlenségek algebrai megoldása 169
5.13. Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek 173
5.14. Másodfokú egyenletrendszerek 176
5.15. Irracionális egyenletek 186
5.16. A hatványfogalom általánosítása 192
5.17. Az n-edik gyök 196
5.17.1. A gyökvonás azonosságai 198
5.18. Nem algebrai (transzcendens) függvények és egyenletek 204
5.18.1. Exponenciális függvény 205
5.18.2. Exponenciális egyenletek 209
5.18.3. A logaritmus fogalma 214
5.18.4. A logaritmus azonosságai 216
5.18. 5. A logaritmus függvény 219
5.18.6. Logaritmikus egyenletek 223
5.18.7. Logaritmikus és exponenciális egyenletek és egyenletrendszerek 226
6. VEKTOROK (Kiss Anna) 228
6.1. A vektor fogalma 228
6.2. A vektorral kapcsolatos alapfogalmak: egységvektor, két vektor szöge 229
6.3. Műveletek vektorokkal 231
6.3.1. Vektorok összeadása. Nullvektor. Az összeadás tulajdonságai 231
6.3.2. Vektorok kivonása 236
6.3.3. Vektor szorzása skalárral. A vektor skalárral való szorzásának tulajdonságai. Vektorok párhuzamossága 239
6.4. Vektorok felbontása 245
6.5. Vektorok kooordinátái 247
6.5.1. Vektorok összegének és különbségének koordinátái 248
6.5.2. Vektorok skalárszorosának koordinátái 248
6.5.3. Vektor hosszának kiszámítása 249
6.5.4. Vektorok párhuzamosságának és merőlegességének vizsgálata a koordináták segítségével 249
7. TRIGONOMETRIA (Exner Helmutné) 254
7.1. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése derékszögű háromszögben 254
7.1.1. Összefüggések egy szög és pótszögének szögfüggvényei között 255
7.1.2. Alapösszefüggések ugyanazon hegyesszög szögfüggvényei között 256
7.1.3. Néhány speciális szög szögfüggvényei 258
7.1.4. A szögfüggvények alkalmazása 259
7.2. Az egységvektor koordinátái. A szögfüggvények általánosítása 262
7.3. A forgásszögek szögfüggvényei 266
7.4. A szögfüggvények ábrázolása és vizsgálata 268
7.5. Összefüggések az általános háromszögekben 272
7. 5.1. A háromszög területe 272
7. 5. 2. A háromszög köré írható kör sugara 273
7. 5.3. A sinustétel 274
7.5.4. A cosinustétel 275
7.5.5. Példák a sinus- és cosinustétel alkalmazására 277
7.6. Trigonometrikus azonosságok (tételek) 281
7.6.1. Összegezési (addíciós) tételek 281
7. 6. 2. Az addíciós tételek néhány következménye 283
7.7. A tangenstétel 286
7.8. Trigonometrikus azonosságok igazolása (feladatok) 28d
7.9. Trigonometrikus (goniometriai) egyenletek 289
7.10. Trigonometrikus egyenletrendszerek 290
8. ANALITIKUS GEOMETRIA (Kiss Anna) 299
8.1. A helyvektor fogalma. A helyvektor koordinátái 299
8.2. Két pont távolsága 301
8.3. Szakaszt adott arányban osztó pont 302
8.3.1. A felezőpont koordinátái 302
8.3.2. A szakaszt na:n arányban osztó pont koordinátái 304
8.3.3. A háromszög súlypontjának koordinátái 305
8.4. Az egyenes 308
8.4.1. Az egyenes paraméteres vektoregyenlete 308
8.4.2. Az egyenes paraméteres egyenletrendszere 309
8.4.3. Adott ponton átmenő, adott irányvektorú egyenes egyenlete 311
8.4.4. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete 312
8.4.5. Az egyenes iránytényezős egyenlete 313
8.4.6. Egyenesek párhuzamossága, merőlegessége 316
8.4.7. Pont távolsága adott egyenestől 318
8.4. 8. Az egyenes egyenletének vizsgálata 321
8.5. A kör 324
8.5.1. A kör egyenlete 324
8.5.2. A koordináta-rendszer eltolása 326
8. 5.3. A kör és az egyenes kölcsönös helyzete 328
8.5.4. A kör adott pontjába húzott érintő egyenlete 329
8.5. 5. Adott külső pontból a körhöz húzott érintő egyenlete 332
8.5.6. A kör egyenletének vizsgálata 333
8.6. A parabola 339
8.6.1. A parabola egyenlete 341
8.6.2. A másodfokú függvény grafikonja 345
8.6.3. A parabola és az egyenes kölcsönös helyzete 349
8.7. Az ellipszis és a hiperbola 353
8.7.1. Az ellipszis és pontjainak szerkesztése 353
8.7.2. A hiperbola és pontjainak szerkesztése 356
8.7.3. Az ellipszis és a hiperbola középponti egyenlete 359
9. SZÁMSOROZATOK (Exner Helmutné, Kiss Anna) 368
9.1. A számsorozatokra vonatkozó alapismeretek 368
9.2. Számtani (aritmetikai) sorozat 370
9.3. Mértani (geometriai) sorozat 373
9.4. Sorozatok korlátossága 377
9.5. Sorozatok monotonitása 378
9.6. Sorozatok határértéke. Küszöbindex meghatározása 379
9.7. Divergens sorozatok 386
9.8. Műveletek sorozatokkal; két sorozat összegének, szorzatának és hányadosának határértéke 388
10. A FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA (Exner Helmutné, Kiss Anna) 393
10. 1. A függvény végtelenben vett határértéke 393
10. 2. A függvény határértéke a végesben 412
10. 3. Két függvény összegének, szorzatának és hányadosának határértéke 415
10. 4. A függvény folytonossága 419
11. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS (Exner Helmutné, Kiss Anna) 427
11.1. A differenciálhányados fogalma 423
11.2. Derivált függvény 431
11.3. A differenciálhányados geometriai jelentése 433
11.4. Jobb- és bal oldali differenciálhányados 434
11. 5. A függvény differenciálhatóságának és folytonosságának kapcsolata 435
11.6. Differenciálási szabályok 436
11. 6.1. Konstanssal szorzott függvény differenciálhányadosa.
Függvények összegének és különbségének differenciálhányadosa 436
11.6.2. Függvények szorzatának, hányadosának differenciálhányadosa 437
11.6.3. Trigonometrikus függvények differenciálhányadosa 441
11.7. Függvényvizsgálat 443

Témakörök