Érettségi tételek matematikából

Előszó

Amióta bevezették az Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából című kötetet - melynek I. fejezete tartalmazza azokat a tételek, amelyek az érettségin bizonyítási feladatként kitűzhetők - számtalan könyv jelent meg az érettségizők felkészülésének megsegítésére. Időközben azonban a kitűzhető tételek jegyzéke többször megváltozott, s ily módon az eddig megjelent könyvekben sok olyan tétel is szerepel, amit nem adhatnak fel az érettségin. Könyvünkben csak a szükséges tételekkel foglalkozunk, de azokra többféle bizonyítást is adunk, hogy mindenki a maga számára legegyszerűbbnek tűnőt választhassa ki. Jó néhány új bizonyítást is mutatunk, de a tankönyvekből megszokottakat sem hagytuk ki. A tanulás megkönnyítésére néhány esetben betettünk olyan tételeket is, amelyek nincsenek ugyan a tételjegyzékben, de hivatkozhatunk rájuk a bizonyítások során. E segédtételeket könnyű megkülönböztetni a kitűzhető tételektől, mert ezek előtt nem szerepel a feladatgyűjtemény I. fejezete szerinti tételsorszám. A tételek bizonyításánál az egyik legnagyobb gondot annak eldöntése okozza, hogy mely tételekre szabad hivatkozni, s melyekre nem. Egy adott matematikai felépítésben a válasz könnyen megadható (tudniillik: ami már szerepelt addig, arra szabad támaszkodni), de egy egyszeri vizsgahelyzetben ilyen támpont nyilvánvalóan nincs. A problémát megoldaná, ha a feladat szövege tartalmazná az alkalmazandó bizonyítási módszert, vagy azoknak a tételeknek a listáját, amelyekre szabad hivatkozni a bizonyítás során, de ilyen sehol sem szerepel. Ezért áll elő az a helyzet, hogy az ekvivalens tételeknél az egyikből bizonyíthatjuk a másikat, vagy a másikból az egyiket attól függően, hogy éppen melyiket tűzték ki. Néha az egyikből a másik egy egysoros levezetéssel adódik. Ha egy diák ilyen levezetéseket tanul meg az érettségire, akkor tényleges tudást ugyan nem szerez (és tanára ezt látva joggal lesz ideges), de a vizsgakövetelményeknek formálisan tökéletesen eleget tesz, úgyhogy bizonyítását hibátlannak kell tekinteni. Könyvünkben ezeket a lehetőségeket is megmutatjuk, de ez nem jelenti azt, hogy ezt az utat javasolnánk. A feladatok megszövegezésével kapcsolatos problémákról is szólnunk kell, amely nem teszi lehetővé a kritikai hang mellőzését. Nem egy példát tudnánk említeni arra, hogy még a tanárok számára sem egyértelműek a feladat elvárásai. A bizonytalanságok eloszlatása pedig elsődleges fontossággal bír. Ezért az ezekre vonatkozó észrevételeinket, értelmezési javaslatainkat megjegyzések formájában fogalmaztuk meg. Vissza