Matematika 1/I.

Tartalom

VEKTORALGEBRA ÉS ALKALMAZÁSAI
1. A vektor fogalma 5
2. Vektorok összeadása 6
.3. Vektorok kivonása 9
4. Vektor szorzása skalárral 9
5. Vektorok lineáris függősége és függetlensége 10
6. Derékszögű koordinátarendszer. Koordinátákkal adott vektorok
összeadása, kivonása és skalárral való szorzása 15
7. Vektorok skaláris szorzása 17
8. A vektoriális szorzat 22
9. Determinánsok. Vegyes szorzat 27
10. Reciprok vektorrendszer, többszörös vektorszorzatok 37
11. A térbeli analitikus geometria alapfogalmai 43
12. A gömbháromszögtan alapjai 49
13. Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Cramer-szabály 55
14. A Gauss-féle módszer 62
A HATÁRÉRTÉK BEVEZETÉSE. VALÓS SZÁMOK
A racionális számok
1. A racionális számok jellemző tulajdonságai 69
2. Műveleti szabályok 69
3. A rendezés törvényei 71
4. A számegyenes 72
5. Az abszolút érték 73
Irracionális számok
1. Az irracionális számok bevezetésének szükségessége 77
2. Intervallumskatulyázás 79
3. Intervallumskatulyázás szerkesztése a számegyenes tetszőleges pontjához 80
Számsorozatok
1. Számsorozat fogalma, számsorozat határértéke 82
2. Az irracionális számok értelmezése 88
3. A számegyenes pontjai és a valós számok között fennálló kölcsönösen egyértelmű leképezés. Tizedestörtek, műveletek tizedestörtekkel
4. A valós szám, mint racionális számsorozat határértéke 93
5. Konvergens sorozatokra vonatkozó tételek 94
6. A binomiális tétel 96
7. Néhány fontos sorozat határértékének meghatározása 99
8. Végtelen szakaszos tizedestörtek átalakítása közönséges törtekké 105
9. Hatványozás, gyökvonás 107
10. Racionális és valós kitevőjű hatványok 109
FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK. ELEMI FÜGGVÉNYEK ÉS AZOK ÁBRÁZOLÁSA
1. A függvény fogalma 117
2. A függvény megadási módja 119
3. A függvények osztályozása 124
4. A függvények néhány fontos tulajdonsága 126
5. A függvény határértéke 130
6. Folytonos függvények 136
7. Az inverz függvény 140
8. A hatványfüggvény 142
9. A racionális függvény 144
10. Az exponenciális függvény 145
11. A logaritmus függvény 146
12. Trigonometrikus függvények 147
13. A trigonometrikus függvények inverzei 150
14. Hiperbolikus függvények 155
15. A hiperbolikus függvények inverzei 159
16. Függvényábrázolás a koordinátarendszer transzformációja segítségével 163
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
1. Differenciálhányadosra vezető problémák 169
2. A differenciálhányados értelmezése 171
3. Grafikus differenciálás 172
4. A differenciálható függvény lineáris approximációja 173
5. Differenciálási szabályok 175
6. A trigonometrikus függvények differenciálása 178
7. Differenciálási szabályok (folytatás) 179
8. Az elemi függvények differenciálása 186
9. A differenciálszámítás középértéktételei 190
10. L' Hospital szabálya 195
11. A differenciálszámítás alkalmazásai 202
1. A függvények lokális növekedése illetve csökkenése 202
2. A speciális Taylor tétel 202
3. Függvények szélsőértékei 204
4. Szöveges szélsőértékszámítási feladatok 206
5. Függvények érintkezése 209
6. Síkgörbék diszkussziója 211
7. A simulókör 215
8. A Taylor-féle képlet 218
9. Néhány elemi függvény Taylor polinomjának kiszámítása 222
INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
1. Két területszámítási feladat 227
2. A határozott integrál fogalma 231
3. Folytonos függvények határozott' integráljának létezése 234
4. A határozott integrál tulajdonságai 239
5. A határozatlan integrál 242
6. Tartományok területének kiszámítása 244
7. A határozatlan integrál kiszámításának technikája 245
8. Helyettesítéssel történő integrálás 248
9. A parciális integrálás módszere 250
10. A racionális törtfüggvények integrálása 255
11. Trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása 265
12. Racionális törtfüggvények integrálására visszavezethető feladatok 267
PÉLDATÁR
Vektorok összeadása; kivonása, skalárral való szorzása 273
Vektorok skaláris szorzása. Néhány alkalmazás 273
Néhány példa koordináták nélkül 274
Determinánsok 275
Vektorok vektoriális szorzása. Vegyes szorzat 275
Reciprok vektorrendszer. Vektor felbontása három adott vektorral párhuzamos összetevőkre 276
A vektoralgebra alkalmazása az analitikus geometriában 276
Gömbháromszög, 281
Lineáris egyenletrendszerek 282
Egyenlőtlenségek 283
Végtelen szakaszos tizedestörtek átalakítása, közönséges törtté 284
Intervallumskatulyázás 285
Számsorozatok 285
Függvénykapcsolatok felírása 287
Függvények ábrázolása 288
Függvények értelmezési tartománya 288
Paraméteresen adott függvények 289
Polár-koordinátarendszer 289
Implicite adott függvények ábrázolása 289
Függvény határértéke 290
Inverz függvény 292
Elemi függvények 292
Ábrázolás a koordinátarendszer transzformációja segítségével 294
Függvények differenciálása 294
Magasabb deriváltak 297
A differenciálszámítás középértéktétele 297
L'Hospitál szabálya 297
Síkgörbék érintője és normálisa 299
Egyváltozós függvény szélsőértékei 300
Síkgörbék vizsgálata 300
Szöveges szélsőérték feladatok 300
Görbület, görbületi kör 301
Taylor polinomok 301
Az integrálás alapképleteinek és szabályainak alkalmazása 302
Integrálás helyettesítéssel 303
Parciális integrálás 304
Racionális törtfüggvények integrálása 305
Trigonometrikus függvények integrálása 306
Hiperbolikus és R (ex) függvények integrálása 307
Irracionális függvények integrálása 308
Megoldások 309

Témakörök