Komplex függvénytan I.

Tartalom

Komplex függvénytan
I. Bevezetés a komplex függvénytanba 9
1. § Komplex számok és pontok 9
1.1 Komplex sik és komplex számgömb 9
1.2 Komplex sik mint metrikus tér
Görbék, tartományok a komplex sikon 13
1.3 Komplex számhalmazok-ponthalmazok 20
1.4 Gyakorló feladatok 21
2.§ Komplex számsorozatok 23
2.1 Alapfogalmak 23
2.2 Korlátos komplex számsorozatok 24
2.3 Konvergens komplex számsorozatok 24
2.4 Divergens komplex számsorozatok 29
2.5 Műveletek komplex számsorozatokkal 30
2.6 Példák 31
2.7 Gyakorló feladatok 32
3. § Komplex számsorok 34
3.1 Alapfogalmak 34
3.2 Konvergens komplex számsorok 35
3.3 Abszolút konvergens komplex számsorok 3g
3.4 Divergens komplex számsorok 41
3.5 Példák 42
3.6 Gyakorló feladatok 44
II. Komplex analizis alapfogalmai 46
1. § Komplex változós komplex függvények 46
1.1 Komplex függvények értelmezése és szemléltetése
1.2 Műveletek komplex függvények körében
Összetett függvény, inverz függvény 49
1.3 Példák 51
2. § Komplex függvények határértéke 60
2.1 Határérték egy pontban 60
2.2 Műveletek és határértékképzés
Összetett függvény határértéke 62
2.3 Példák 65
3. § Komplex függvények folytonossága 66
3.1 Folytonosság egy pontban 66
3.2 Folytonosság egy halmazon 69
3.3 Egyenletes folytonosság 70
3.4 Müveletek folytonos függvényekkel
Összetett függvény és inverz függvény folytonossága 71
3.5 Példák 72
4. § Komplex függvények differenciálhatósága 75
4.1 Differenciálhatóság egy pontban.
Differenciálhányados és differenciál 75
4.2 Differenciálhányados geometriai jelentése 81
4.3 Differenciálhatóság egy halmazon
Deriváltfüggvény. Regularitás 83
4.4 Differenciálási szabályok
Összetett függvény és inverz függvény differenciálhányadosa, 84
4.5 Magasabbrendü deriváltak
L'Hospital-szabály 86
4.6 Reguláris komplex függvény és kétváltozós harmonikus, függvény kapcsolata. Harmonikus társfüggvény 87
4.7 Reguláris komplex függvény és sikbeli vektorfüggvény kapcsolata. Komplex potenciál 91
4.8 Példák 96
4.9 Gyakorló feladatok a II. fejezethez 110
III. Reguláris komplex függvények által létesített leképezések 116
l.§ Kölcsönösen egyértelmű leképezés 116
1.1 Tobbértékü-egyrétü függvények leképzése (z sikbeli Riemann-felület) 117
1.2 Egyértékü-többrétü függvények leképzése (w sikbeli Riemann-felület) 118
1.3 Többértékü-többrétű függvények leképzése 119
1.4 Példák 120
2. § Konform leképezés 128
2.1 A konform leképezés alapvető tulajdonságai 128
2.2 A konform leképezés néhány általános elve 131
2.3 Néhány egyszerű konform leképezés 134
A. Lineáris leképezések 134
A/l Lineáris egész függvény és az általa létesített leképezés 135
A/2 Reciprok függvény és az általa létesített leképezés 139
A/3 Lineáris törtfüggvény és az általa létesített leképezés 149
B) Zsukovszkij-féle függvény és az általa létesített leképzés 163
2.4 Példák 166
3. § Elemi függvények és az általuk létesített leképezések 182
3.1 Hatványfüggvény 184
3.2 Gyökfüggvény 187
3.3 Exponenciális függvény 191
3.4 Logaritmus függvény 200
3.5 Trigonometrikus függvények 205
3.6 Arcus függvények 217
3.7 Hiperbolikus függvények220
3.8 Area-függvények 222
3.9 Altalános hatványfüggvény 224
3.10 Példák 227
3.11 Gyakorló feladatok a III. fejezethez 235

Témakörök