Valós lineáris algebra és lineáris programozás

Tartalom

ELŐSZÓ
1. LINEÁRIS EGYENLETEK
1.1. A lineáris egyenletről 15
1.2. Lineáris egyenletrendszer 18
1.3. Gauss-féle eliminációs módszer 19
1.4. Megjegyzések a lineáris egyenletrendszer megoldási módszereiről 23
2. MÁTRIXALGEBRA
2.1. A mátrix fogalma 25
2.2. Mátrixok összeadása és mátrix szorzása skalárral 26
2.3. Mátrixok szorzása 28
2.4. Mátrix transzponáltja és szimmetrikus mátrix 33
2.5. Mátrix inverze 34
2.6. Mátrix transzponáltja és inverzének tulajdonságai 35
2.7. Mátrix és lineáris egyenletrendszer 36
2.8. Egy módszer inverz mátrix meghatározására 37
2.9. Mátrix rangja: az algoritmikus definíció 42
3. A DETERMINÁNS
3.1. Az n-ed rendű determináns fogalma 45
3.2. Determinánsok alaptulajdonságai 47
3.3. Mátrix rangja: determinánson alapuló definíció 49
3.4. Kifejtési tétel 49
3.5. Néhány speciális mátrix determinánsa 52
3.6. Determinánsok kiszámítása 53
3.7. Cramer-szabály 54
3.8. Mátrix inverze és determinánsa 55
3.9. Mégegyszer a Gauss-féle eliminációról: Gauss-féle elimináció és LU-felbontás 56
4. A VEKTORTÉR
4.1. Bevezetés 59
4.2. Vektortér fogalma 59
4.3. Vektorterek 60
4.4. Az/j-komponensű vektorok vektortere 61
4.5. Alterek 62
4.6. Lineárisan összefüggő, illetve lineárisan független vektorok 63
4.7. Bázis és dimenzió 66
4.8. Az elemi bázistranszformáció 68
4.9. Konvex halmaz 72
4.10. Determináns egy további tulajdonsága 77
4.11. Vektortér, mátrix és lineáris egyenletrendszer 78
5. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ
5.1. Bevezetés 81
5.2. Lineáris transzformáció 81
5.3. Példák a lineáris transzformációkra 84
6. AZ EUKLIDESZI TÉR
6.1. Az euklideszi tér és példák 91
6.2. Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség 93
6.3. Vektorok hossza 95
6.4. Távolság az euklideszi térben 96
6.5. Vektorok által bezárt szög 96
6.6. Ortonormált bázis 97
6.7. Gram-Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás 99
6.8. Ortogonális mátrix és ortogonális transzformáció 103
6.9. Sajátvektor és sajátérték 106
6.10. Fibonacci-számok 109
6.11. Néhány szó Fibonacciról és a Fibonacci-számokról 111
Rövid történelmi áttekintés a lineáris algebráról 112
7. BEVEZETÉS A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSBA
7.1. Lineáris programozás feladata 113
7.2. Megjegyzések lineáris programozási feladat különböző' alakjaihoz 115
7.3. Egy igen egyszerű példa az LP feladatra 117
7.4. Példák az LP feladatra 120
8. SZIMPLEX MÓDSZER MATEMATIKAI HÁTTERE
8.1. Megengedett bázismegoldás 125
8.2. Megengedett megoldásról megengedett bázismegoldásra való áttérés 129
8.3. Megengedett bázismegoldásról szomszédos megengedett bázismegoldásra áttérés 133
8.4. Célfüggvényérték változása 140
8.6. Optimalitási kritérium 141
8.7. A célfüggvény korlátlanságáról 144
8.8. Szimplex módszerről 145
9. SZIMPLEX MÓDSZER
9.1. Szimplex tábla átalakítása: Oszlop szerinti leírás 147
9.2. Szimplex tábla átalakítása: Sor szerinti leírás 151
9.3. Szimplex algoritmus 152
9.4. Egy szemléltető számpélda a szimplex algoritmusra 154
9.5. Induló bázis keresése. A kétfázisú módszer 161
9.6. Degeneráció és ciklizálás: Bland szabálya 164
10. DUALITÁS
10.1. Primál-duál feladatpár 167
10.2. Dualitás tételek 170
10.3. Primál-duál megfeleltetés az általános LP feladat esetén 173
10.4. Dualitás egy alkalmazása: Minkowski-Farkas-tétele 177
10.5. Dualitás matematikai-közgazdaságtani interpretációja 180
RÖVID TÖRTÉNELMI ÁTTEKINTÉS A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSRÓL 185
IRODALOM 189
REAL LINEAR ALGEBRA AND LINEAR PROGRAMMING BY DAVAADORJÍN MONHOR 193
TÁRGYMUTATÓ 197

Témakörök