Geometria I./Példatár

Tartalom

BEVEZETÉS.
1. §. Az anyagi test, a tér. A geometriai test, a felület, a vonal, a pont 1
2. §. A pontok geometriai helye; az egyenes vonal 2
3. §. A gömb, a görbe felület. A sík, a síkalak, téralak, síkmértan, testmértan 2
A) Planimetria.
I. FEJEZET.
A vonalak és szögek.
A vonalak.
4. §. Az egyenes vonal és a körvonal 3
A szögek.
5. §. A szög fogalma, a szögek jelölése, nagysága és mértékegysége 4
6. §. A kiegészítő-, pótló-, mellék- és csúcsszögek 7
7. §. Két egyenesnek egy harmadikkal való metszésénél keletkező nyolcszög. Két egyenes párhuzamossága 8
8. §. Euklides V. posztulátuma 11
9. §. Két párhuzamos egyenesnek egy harmadikkal való metszésénél keletkező szögek összefüggése 12
II. FEJEZET.
Határolt síkalakok.
A háromszög.
10. §. A háromszög definíciója, szögpontjai, belső szögei, oldalai, külső szögei 13
11. §. A háromszög belső szögeinek összege 14
12. §. A háromszög belső szögeire vonatkozó tételek 15
13. §. A háromszög szögeire vonatkozó megjegyzések. A háromszögek osztályozása szögeik szerint 15
14. §. A háromszög két szögének a velük szemben levő oldalaktól
való függő nagysági viszonya. Az egyenlőszárú háromszög 16
15. §. A háromszög oldalainak nagysági viszonya. Az egyenlő oldalú
háromszög. A derékszögű háromszög keletkezése. Derékszög rajzolása 18
16. §. Az egyenesen kívül fekvő pontból az egyenes pontjaihoz húzott vonalak nagysági viszonya. A háromszög magasságai 20
17. §. Két háromszög egy-egy szögének nagysági viszonyából következtetés a velük szemben levő oldalakra, ha az egyiknek a szöget bezáró oldalai egyeznek a másikéival 21
18 §. Pontnak és egyenesnek a körhöz való relatív helyzete 23
19. §. Két kör relatív helyzete 24
A háromszögek szerkesztése és kongruenciája.
20. §. A háromszög szerkesztése egy alkotórésszel. Példatár 5
21. §. A háromszög szerkesztése két alkotórésszel. Példatár 6
22. §. A háromszög szerkesztése három alkotórésszel 29
23. §. A különböző háromszögek szerkesztésére szükséges adatok 36
A háromszögek kongruenciája.
24. §. A háromszögek kongruenciájának fogalma. A kongruencia
esetek. Kongruens háromszögek egyenlő fekvésű alkotórészeinek összefüggése 37
A. négyszög.
25. §. A négyszög definíciója, szögpontjai, szögei, oldalai és ezek
jelölése 38
26. §. A négyszög átlója, belső, úgyszintén külső szögeinek összege 38
27. §. Szögek merőleges szárakkal 39
28. §. A négyszög különös fajtáinak (deltoid, trapéz, parallelogramma) definiciója 40
29. §. Valamely egyenessel párhuzamos egyenes húzása egy kívüle
levő pontból 40
30. Parallelogramma szerkesztése tulajdonságainak ismerete nélkül pusztán definiciója alapján. A parallelogramma szemben levő szögeinek egyenlősége 41
31. §. Szögek párhuzamos szárakkal 42
32. §. A parallelogramma egyik átlója révén keletkező háromszögek kongruenciája. A parallelogrammára vonatkozó tétel és annak megfordításai 42
33. §. A parallelogrammák osztályozása oldalaik és szögeik szerint 44
34. §. A parallelogrammák átlói 45
35. §. A görbe vonalú síkidomok középpontjának fogalma. A parallelogramma átlóinak metszéspontja mint ilyen középpont 46
36. §. A háromszög két oldalának közepét összekötő egyenes és az
egyik oldal közepén át a másik oldallal párhuzamos egyenes 47
37. §. A trapéz definiciója, alapvonalai, szárai; a szögeire vonatkozó tétel 48
38. §. A trapéz középvonala és annak összefüggése a két párhuzamos oldallal 48
39. §. Adott távolság n egyenlő részre osztása 49
40. §. Az általános trapéz oldalainak nagysági viszonya 50
41. §. Az egyenlő szárú trapéz alapjánál levő szögek egyenlősége.
Az egyenlőszárú trapéz átlóira vonatkozó tételek 51
A négyszögek szerkesztése.
42. §. A trapezoid szerkesztésére szükséges adatok száma 52
43. §. A parallelogrammának szerkesztése. Példatár 9
44. §. A trapézek szerkesztése. Példatár 10
45. §. A deltoid szerkesztéséhez szükséges adatok 52
46. §. A négyszögek kongruenciája 52
47. §. A sokszög definiciója, szögeinek és oldalainak jelölése 53
48. §. A sokszögnek egy szögpontból húzható átlói, a velük lemetszett háromszögek. A sokszög belső, úgyszintén külső szögeinek összege 53
49. §. A sokszöget meghatározó adatok száma 54
50. §. A sokszög összes átlóinak száma 54
A kör húrja és a húrsokszögek.
51. §. A körív, a húr, a középponti szög 55
52. §. Az egyenlő ívekhez tartozó húrok és középponti szögek 56
53. §. Ugyanazon kör (vagy két egyenlő kör) különböző íveihez
tartozó húrok nagysági viszonya 56
54. §. Egyenlő, úgyszintén különböző húrokhoz tartozó ívek nagysági viszonya 57
55. §. Egyenlő húroknak a középponttól való távolsága 57
56. §. Különböző húroknak a középponttól való távolsága 58
57. §. A középponttól egyenlő, valamint különböző távolságra levő
húrok nagysági viszonya 59
58. §. Valamely, a körön belül levő ponton keresztül menő húrok nagysági viszonya. A legnagyobb és legkisebb húr 59
59. §. A kör húrja és a végpontjaihoz induló körsugarak alkotta
egyenlőszárú háromszögre (s általában az egyenlőszárú
háromszögre) vonatkozó tételek 60
60. §. Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok geometriai
helye 61
61. §. Három adott ponttól egyenlő távolságra levő pont. A háromszög körül írt kör középpontja. A húrháromszög 62
62. §. Adott kör középpontjának megkeresése 64
63. A háromszög magasság pontja. Példatár 12
64. §. A kerületi szög fogalma. A kerületi és ugyanazon köríven
nyugvó középponti szög összefüggése 65
65. §. A kerületi szög és az ugyanazon íven nyugvó középponti
szög összefüggéséből lehozható következtetések 66
66. §. A húrnégyszög, ennek szemben levő szögei összegére vonatkozó tétel és annak megfordítása 68
Példatár 13
67. §. A húrsokszög definíciója. A páros oldalszámmal biró húrsokszög szögeire vonatkozó tétel 69
A kör érintője és az érintősokszögek.
68. A körön levő ponthoz tartozó érintő. A húr és az érintő alkotta kerületi szög 70
69. §. A körön kivül levő pontból húzható érintők 71
70. §. Két adott, nem párhuzamos egyenestől egyenlő távolságban
levő pontok geometriai helye 72
71. §. Három adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok.
A háromszögbe írt kör középpontja. Az érintő háromszög 72
72. §. A háromszög egy-egy oldalát kívülről érintő körök középpontjai 73
73. §. Az érintőnégyszög szemben levő oldalainak összegére vonatkozó tétel és annak megfordítása 75
Példatár 15
74. §. Az érintősokszögek definíciója. A páros oldalszámmal bíró
érintősokszög oldalaira vonatkozó tétel 76
III. FEJEZET.
Egyenes vonalú zárt síkalakok területe.
A területegyenlöség.
75. §. A kiegészítő parallelogrammák területeinek egyenlősége 76
76. §. Az egyenlő alapú és magasságú parallelogrammák területének egyenlősége 78
77. §. A háromszög területe, kapcsolatban a vele egyenlő alapú és
magasságú parallogrammával 78
78. §, A derékszögű háromszög magasságtétele. A projekció fogalma
és ez alapon a tétel fogalmazása 79
79. §. A derékszögű háromszög befogóinak tétele. Pythagoras tétele 81
Példatár 19
A sokszög átalakítás (területátalakitás).
80. §. Az n oldalú sokszögnek n- 1 oldalúvá való átalakítása 83
81. §. A háromszög átalakítása parallelogrammává 85
82. §. A ferdeszögű parallelogramma átalakítása derékszögűvé 80
83. §. A derékszögű parallelogramma átalakítása négyzetté 85
A területosztás.
84. §. A háromszög felosztása egyenlő területű részekre. Példatár 22
85. §. A parallelogramma felosztása egyenlő területű részekre. Példatár 23
86. §. A trapéz felosztása egyenlő területű részekre. Példatár 24
87. §. A sokszög két egyenlő területű részre való osztása. Példatár 24
Egyenes vonalú zárt síkalakok területének mérése.
88. §. Az egyenes vonal mérésének módjai 86
Példatár 25
89. §. A terület mérésének mértékegysége 88
90. §. A derékszögű parallelogramma területének megállapítása 89
Példatár 27
91. §. A legegyszerűbb síkalakok területeinek formulái 90
92. §. Két parallelogramma területének összehasonlításából származó eredmények. Egy szögben megegyező háromszögek
területeinek aránya 93
93. §. A területszámításnál tekintetbe jövő nevezetesebb számítások 95
Példatár 30
IV. FEJEZET.
Távolságok arányossága, háromszögek hasonlósága és
annak alkalmazásai, zárt síkalakok hasonlósága.
94. §, Valamely síkalak képének megállapítása ugyanazon síkban (Síkbeli leképezés) 101
Párhuzamos egyenesekkel átvágott sugárkettős.
95. §. Egyszerű arányossági tételek a párhuzamos egyenesekkel átvágott sugárkettősben 103
Példatár 40
96. §. A háromszögek hasonlósága 106
A háromszögek hasonlósági tételeinek alkalmazásai.
97. §. A hasonló háromszögek területei 110
98. §. A hasonló háromszögek területei és magasságai 110
99. §. A háromszög területe, ha ismeretes három oldala (a háromszög oldalait érintő körökkel kapcsolatosan fellépő derékszögű háromszögek hasonlósága alapján). Példatár 43
100. §. A derékszögű háromszögre vonatkozó tételek 112
101. §. Ptolomaeus tétele. A húrnégyszög átlóinak szorzata és az átlók hányadosa 114
Példatár 47
Antiparallel egyenesekkel átvágott sugárkettős.
102. §. Az antiparallel egyenesek fogalma s a velük átvágott sugárkettős arányossági tétele 115
103. A körnél levő sugárkettős tételei antiparallel egyenesekkel
való metszés esetén 116
Példatár 49
104. §. Valamely pont potenciája a körre vonatkozólag. Példatár 49
105. §. A potenciavonal. Példatár 50
106. §. A potenciapont. Két kör potenciavonalának szerkesztése.
Példatár 51
107. §. Az egyenes arányosztása. Példatár 51
108. §. Különös egyenlőszárú háromszög csúcsánál levő szög nagysága (tízszög). Példatár 52
Egyenes vonalú síkalakokhoz hasonló képek.
109. §. Valamely távolság belső és külső oszlása 118
110. §. Valamely távolság adott viszonyban való osztása 118
111. §. Három adott távolsághoz negyedik arányos szerkesztése 119
112. §. Egyenes vonalú síkalakokhoz hasonló képek alkotásának
tételei 119
113. §. A hasonló sokszögekre vonatkozó tételek, kerületek aránya,
területek aránya. Pytliagoras tételének általánosítása 122
114. §. Valamely síkalakhoz hasonló kép megrajzolása, vagy kiegészítése anélkül, hogy azok hasonló helyzetben volnának 126
115. §. A kör, mint a körnek hasonló képe. Példatár 57
V. FEJEZET.
A körmérés.
Bevezetés 127
116. §. A szabályos sokszögek definiciója. A körbe írt n oldalú szabályos sokszög s a kör körül írt szabályos sokszög keletkezése 128
117. §. A szabályos n oldalú sokszögbe és körüle kör írható. A szabályos sokszög középpontja 129
118. §. Körzővel és vonalzóval szerkeszthető szabályos sokszögek.
Példatár 66
119. §. A páros oldalszámú szabályos sokszögek legegyszerűbb tételei. Példatár 67
120. §. A szabályos sokszög középponti szöge és belső szögei 131
121. §. Szabályos húrhatszög és szabályos húrháromszög 131
122. §. Szabályos húrnégyszög 133
123. §. A szabályos húrtízszög és húrötszög s a velük kapcsolatos
csillagidomok. Példatár 68
124. §. A szabályos húrtizenötszög. Példatár 72
125. §. Az n oldalú és 2n oldalú szabályos húr- és érintősokszögek
összefüggése 134
Példatár 73
A kör kerülete.
126. A kör kerületének definíciója. A beírt és körülírt sokszög
kerületének változása az oldalak számának megkettőzésével 137
127. §. Az n oldalú szabályos érintősokszög és az n oldalú húrsokszög ugyanazon határhoz való közeledése 139
128. §. Két kör kerületének aránya. A pi fogalma. A kör kerülete 140
129. §. A re kiszámításának menete 142
A kör területe.
130. §. Az 11 oldalú szabályos érintősokszög és az n oldalú szabályos húrsokszög területe ugyanazon határhoz közeledik 146
131. §. A kör területének fogalma és annak meghatározása 146
132. §. A körív hosszúsága 147
Példatár 79
133. §. A körszektor területe 150
134. §. A körszegmentum területe 150
135. §. A körgyűrű területe 152
B) Trigonometria.
VI. FEJEZET.
A hegyesszög függvényei, kapcsolatban a derékszögű
háromszög kiszámításával.
136. §. A trigonometria feladata és segédeszközei 153
137. §; A hasonló derékszögű háromszögek ; a szögfüggvények definíciója 154
138. §. Egy és ugyanazon szög különböző szögfényeinek összefüggése 156
Példatár 85
139. §. Két egymással egyszerű kapcsolatban levő szög szögfüggvényeinek összefüggései 160
140. §. A szerkeszthető szögek szögfüggvényei. 162
Példatár 87
141. §. A trigonometriai függvények táblázatai. A szögfüggvények
grafikus ábrázolása 165
142. §. A derékszögű háromszögek meghatározása 168
Példatár 88
143. Az egyenlőszárú háromszög meghatározása 175
144. §. A szabályos sokszögek meghatározása 177
Példatár 94
145. §. A körszegmentum területe 180
VII. FEJEZET.
A szögfüggvények általános értelmezése.
146. §. A szögfüggvények általános értelmezése. Koordinátarendszer 181
147. §. A szögfüggvények előjele 185
148. §. A szögfüggvények értéke a körnegyedek határán 185
149. §. A sinus és cosinus periódusa 186
150. §. A negatív szögek szögfüggvényei 187
151. §. A szög növelése a sinus és cosinus periódusának felével,
azaz 180°-kal 188
152. §. A kiegészítő szögek szögfüggvényei 189
153. §. A szög növelése a sinus és cosinus periódusának 1/4-ével,
azaz 90°-kal 190
154. §. A pótló nem hegyes szögek szögfüggvényei 192
155. §. Összefoglalás 193
156. §. A 90°-nál kisebb pozitív szög függvényeire való visszatérés 194
157. §. Az a szög sin, cos, tg, cot függvényei értékváltozásának grafikus ábrázolása a 0°-tól 360°-ig terjedő közben 195
158. §. A trigonometriai függvények táblázatának további használata 196
VIII. FEJEZET.
A szögek összegének és különbségének függvényei.
159. §. Segédtétel. A törtvonal vetülete 198
160. §. A trigonometria alaptétele. A cosinus függvénynek és a többieknek összeadástétele 200
Példatár 96
161. §. A kétszeres és félszögek függvényeinek az egyszeres szöggel való összefüggése. A sin 18° levezetése 202
Példatár 102
162. §. A félszög sinusának, cosinusának, tangensének és cotangensének az egész szög cosinusával való összefüggése 204
163. §. A félszög sinusának és cosinusának az egész szög sinusával
való kifejezése. Példatár 102
164. §. A különböző szögek sinusa összegének és különbségének,
úgyszintén cosinusa összegének és különbségének szorzatos alakra való hozása 205
IX. FEJEZET.
A sinustétel, eosinustétel és tangenstétel s alkalmazásuk
a háromszög megoldására.
165. §. A sinustétel 207
Példatár 114
166. §. A cosinustétel 210
Példatár 115
167. §. A tangenstétel 215
168. §. A ferdeszögű háromszög megoldása 216
X. FEJEZET.
Néhány egyszerűbb földmérés és magasságmérési
feladat megoldása.
169. §. A vízszintes távolságmérés 229
170. §. A magasságmérés 231
171. A területosztás 233
A sztereometria eleje.
XI. FEJEZET.
A sztereometria bevezető tételei; egyenes és síkok egymáshoz való helyzete; a lapszög és a testszög.
172. §. A sík meghatározása ; a szükséges adatok; a definicióból
folyó eredmények. Két adott ponttól ugyanakkora távolságbon levő pontok geometriai helye sík. A sík normálisa. (A merőlegesség feltétele) 234
173. §. A normális sík szerkesztése ; a síkra merőleges egyenesek
párhuzamossága ; a normális egyenes szerkesztése ; e pontnak a síktól való legrövidebb távolsága 237
174. §. Az egyenesek a térben (A térbeli szögek egyenlősége. A kitérő egyenesek) 240
175. §. A lapszög 241
176. §. A projekció. Az egyenesnek a síkkal képezett szöge. A térbeli alapelemek egymástól való távolsága 241
A testszög (A hároméi, triéder).
177. §. A testszög származása, oldalai, szögei, jelölése ; a poláris
testszög definiciója és alkotórészeinek összefüggése az eredeti testszög alkotórészeivel 246
178a. §. A hároméi oldalainak (szögeinek) nagysági viszonya 248
178b. §. A hároméi szögeinek a hároméi szemben levő oldalaitól
függő nagysági viszonya 249
179. §. Valamely n oldalú testszög (n-él) oldalai összegének, úgyszintén szögei összegének alsó és felső határa 250
180. §. A hároméi szerkesztése a térben 252
181. §. A háromélek kongruenciája és szimmetriája 254
182. §. A háromélek planimetriai szerkesztése 256

Témakörök