A projektiv geometria elemei

Tartalom

I. FEJEZET.
Pont- és sugársorok projektív vonatkozása.
1. §. Egyszerű és kettős viszony fogalma.
1. Pont- és sugársor fogalma _ __ ___ 1
2. Egyenesen fekvő pont helyzetének meghatározása, ha az egyenesen
egy állandó pont vétetik föl ___ 1
3. Pont helyzetének meghatározása a pontsorban, ha annak tartóján két
állandó pont van felvéve. (Egyszerű viszony) . ___ ___ __ 2
4. Négy pont kettős viszonyának értékváltozása a negyedik pont helyzetének változásával ... ... -_ - 3
5. Négy pont kettős viszonyának különböző értékei. Mőbius-féle relaczió 6
6. Négy sugár kettős viszonyának fogalma . __. ___ 8
7. Négy sugáron egyenes által kimetszett négy pont kettősviszonya . 9
8. Két pont- és sugársor perspektiv helyzetben . ... 10
9. Két, a perspektiv helyzetből elmozdított pont- és sugársor ... 11
2. §. A projektiv vonathozás fogalma és a projektiv sorok
szerkesztése.
10. A projektiv vonatkozás értelmezése . - - -- - 12
11. Projektiv pontsorok szerkesztése ___ .- --- - --- -14
12. Projektiv pont- és sugársor, valamint projektiv sugársorok szerkesztése 14
13-14. Mikor perspektiv két projektiv sor -. ... -- -- 16
3. §. Különböző tartóval biró projektiv sorok különös elemei.
15. Projektiv pontsorok ellenpontjai ___ -- --- -- -- --- - - 18
16. Projektiv pontsorok megfelelő pontjainak és hatványpontjainak szerkesztése az ellenpontok segélyével -. -_ .-- -- --- -- -- 20
17. Projektiv pontsorok egymásnak megfelelő egyenlő közei__. --- 21
18. Egymásnak megfelelő derékszög szárai -- -- 22
19. Tétel az egymásnak megfelelő egyenlő szögekről ... - 23
20. Más erre vonatkozó tétel .„_ - -- - - --- --- 25
21. Projektiv sugársorok hatványsugarai ... - - - - -- 26
4. §. Közös tartóval biró projektiv sorok kettös elemei.
22. A kettőspont fogalma . -- - -- --- - 27
23. Ellenkezőleg haladó projektív pontsorok kettős pontjai - -28
24. Egyenlőkép haladó projektív pontsorok kettős pontjai _ - - - 29
25. Szerkesztése az egyik kettős pontnak, ha a másik ismeretes - 30
26. Tétel a kettőspontokról - - - -- - -- - - - 31
27. Oly pontok szerkesztése, melyekből két, ugyanazon tartón fekvő projektív pontsor egyenlően projektív sugársorokkal projicziáltatik . 31
28. Projektív pont- és sugársor megfelelőleg közös eleme. Egyenlő forgású
projektív sugársorok kettőssugarai -- - - - --- - 32
29. Projektív sugársorok második kettőssugarának szerkesztése az elsőből 34
5. §. Involucziós helyzetű sorok.
30. Involucziós pontsor fogalma és tulajdonsága___ --- - 34-
31-32. Involucziós pontsor kapcsolt és kettőspontjai - - 35
33. Involucziós pontsor meghatározásához szükséges adatok. Szerkesztések 37
34. Egyenoldaluan hyperbolikus involucziós pontsor ___ ___ -_ - 38
35. Két involucziós pontsor közös kapcsolt pontpárja --- 39'
36-37. Involucziós sugársor fogalma, kapcsolt sugarak, tengelyek, a sor
hatványa ___ --- --- --- 40
38. Involucziós sugársor metszése egyenessel. Harmonikus sugarak ___ 41
39. Involucziós sugársor szerkesztése ___ ___ ... -_ - 42
40. Czirkuláris- és egyenoldaluan hyperbolikus természetű involucziós
sugársorok ___ __ ___ ______42
6. §. Különös projektiv soroh.
41. Hasonlóan-projektiv pontsorok _ ___ ... ... ... ___ 44
42. Egyenlően-projektiv pontsorok ... ___ ... ... ___ ___ 45
43. Parabolikus természetű projektív pontsorok ... 46'
44. Egyenlően-projektiv sugársorok _ ___ ... __ __ 47
45. Párhuzamos sugarú sorok . __ ___ __ __ ___ ___ ___ 48,
46. Projektív pont- és sugársor perspektív helyzetbe hozandó ... ___ 49
7. §. Harmonikus és involucziós elemekre vonathozó
méretes relacziók és szerkesztések.
47. Méretes relacziók harmonikus elemekről . ... _ 50
48. Harmonikus elemek szerkesztése. _ __ __ __ 52
49. A teljes négyszög és négyoldal harmonikus tulajdonsága ... __ 55
50. Egy háromszög harmonikus polárisa... ... ... ___ _ 58
51. Méretes relacziók involucziót képező hat pont és sugár között 57
52. A teljes négyszög és négyoldal involucziós tulajdonsága. . ... ... 60
53. Szerkesztések. Gauss-Bodenmiller-féle tétel ... ... 63
54. Harmonikusan elválasztott kapcsolt elempárak az involucziós sorokban.
Ennek általánosítása.., __ ... ___ ___ ... ... 65
II. FEJEZET.
A kúpszelet.
8. §. Két általános helyzetű projektiv sugársor képződménye.
55. A kúpszelet mint két általános projektív sugársor képződménye - 60
56. Kúpszelet pontjainak szerkesztése _ ... ... ... ... -. ... 67
57. Minden kúpszelet végtelen sok projektív sugársor képződménye . ... 68
58. A PASCAL-féle hatszög és specziális esetei ... ... ... ... ... ... 69
59. A kúpszelet érintői két érintőt projektív sorok szerint metszenek ... 71
9. §. Két ugyanegy síkban fekvő általános helyzetű projektiv
pontsor képződménye.
60. A másodosztályú sugársor által burkolt görbe másodosztályú ... ... 72
61. A másodosztályú sugársor sugarainak és azok érintőpontjainak szerkesztése _ ... 73
62. A másodosztályú sugársor tartói más sugarak által pótolhatók ... 75
63. A BEIANCHON-féle hatoldal és specziális esetei ... ... -. ... 76
64. A másodosztályú sugársor által burkolt görbe: kúpszelet . ... - 77
10. §. Kúpszeletek beosztása.
65. Kúpszeletek nemei .._ ... ... - ... --- -. - - ... - 79
66. Két projektív sugársor képződménye mily kúpszelet ? ... ... 79
67. Egyenlően-projektiv pontsorok képződménye mily kúpszelet ? ... 81
68. Hasonlóan-projektív kúpszeletek képződménye parabola ... ... ... 81
69-70. Párhuzamos és nem párhuzamos tartókkal bíró projektív pontsorok képződménye mily kúpszelet? ... ... -_ ... 82
71. Projektív pontsorok képződménye mikor lesz egyenoldalú hyperbola ? 84
72. Projektív pontsorok képződményeinek változása, ha az egyik tartó önmagában eltolatik . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... -. 86
11. §. Kúpszeletek polártulajdonságai.
73. A pólus és poláris fogalma ... ... ... ... ... ... ... ... ... 86
74. Kapcsolt pólus és poláris... ... ... ... ... ... ... ... ... 89
75. Egyenesen fekvő kapcsolt pólusok és ponton átmenő kapcsolt polárisok 90
76. A polárháromszög fogalma. ... ... ... ... ___ ... ... ... 91
77. Involucziós sorok kapcsolatban a kúpszelettel ... . ... ... ... 92
78-79. Tételek a kapcsolt pólus és polárisokról. Hesse-féle tétel - --94
80. A háromszög és annak polárháromszöge perspektiv helyzetű. Két polarháromszög kúpszeleten fekszik _ --- -- -- -- -97
81. A kúpszeletnek polárábrája kúpszelet- -- --- --- -- -- -99
12. §. Kúpszeleten fekvő projektiv sorokról.
82. Értelmezések -- --- - - - -- -- - - - -100
83. Involucziós sorok a kúpszeleten _ _ - --- -- -101
84. Általános projektív sorok a kúpszeleten . --- --- --- --- --- 102
84a. Kúpszeleten fekvő projektív sorok képződménye kúpszelet - 103
85-86. Projektiv pontsorokhoz adjungált involucziós pontsor- --- - 104
87. Az involucziós sor redukcziója egyszerű sorra --- --- 107
88-89. Két involucziós sorhoz adjungált involucziós pontsor ___ ___ -- 108
90-91. Két és három projektiv pontsorral involucziós pontsor szerkesztése 109
92. Négy elem három involucziót határoz meg -- -- - 111
93. Egy elempár el van-e választva két involucziós sor közös elempárja
által - - -- - --- - - -- - - - - 113
13. §. Kúpszeletek szerkesztése valós és képzetes elemekből.
94. Öt valós ponton átmenő; öt valós egyenest érintő kúpszelet szerkesztése. Specziális esetek _ __ ___ ___ 114
95. Képzetes pontpáron átmenő kúpszelet értelmezése ___ ___ 116
96. Három valós és két képzetes ponton átmenő kúpszelet szerkesztése ___ 118
97. Egy valós és két pár képzetes ponton átmenő kúpszelet szerkesztése 119
98. Kúpszeletek szerkesztése különböző adatokból. - ... ... ___ 120
14. §. Kúpszeletek szerkesztése oly adatokból, melyek azt
többfélekép határozzák meg.
99-100. Négy ponton átmenő kúpszeletekre vonatkozó DESARGUES-féle tétel 122
101-102. A DESARGUES-féle tétel bebizonyítása, ha az előbbi négy pont
közül kettő vagy négy képzetes ... ... ... ... ... 123
103. Négy ponton átmenő kúpszelet szerkesztése, mely egyenest érint _._ 129
104. Három ponton átmenő kúpszelet, melyre vonatkozólag két pontpár
kapcsolt pólus ... ... _ _ . . ... _„. ___ 131
106. Kettős érintésű kúpszeletekre vonatkozó tétel ... ... ...131
106-107. Három ponton átmenő és kúpszeletet vagy egyenespárt két pontban érintő kúpszelet. A duálisán megfelelő szerkesztés . ... ... ... 134
15. §. Képzetes kúpszelet. Polárrendszer.
108-109. Egy pont polárisának szerkesztése, ha a kúpszelet két kapcsolt
poláris és azokon fekvő involucziós pontsorok által van adva ... 137
110. Polárrendszer. Képzetes kúpszelet .. . _ . ___ . _ . _ 141
111. Polárrendszerek szerkesztése különböző adatokból _ _ . - - 143
16. §. Kúpszeletek átmérői.
112. A kúpszeletek középpontjának és átmérőjének fogalma . _ . . 144
113. A kapcsolt átmérőpárokból álló involucziós sor _ . . . 145
114. Az ellipsis tengelyeinek szerkesztése .. . _ . _ . 147
114a. Az ellipsis átmérő rendszerének hatványa 149
115. Az ellipsis átmérői és tengelyeire vonatkozó méretes relacziók. Az
ellipsis tengelyeinek Frezier- és Rytz-féle szerkesztése _ . 149
116. Az ellipsis pontjainak szerkesztése ___ ... 152
117-118. A hyperbola asymptótáinak és érintőinek szerkesztése. ... ... 153
119. Kapcsolt hyperbolák . _ ... ... ... . . . . ... ... 155
120. A hyperbolára vonatkozó méretes relacziók és a hyperbola tengelyeinek szerkesztése . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 156
121. A képzetes kúpszelet tengelyei . . . . ... ... ... ... ... ... 158
122. Ellipsis és hyperbola egyenlete . ... ... ... ... . . 159
123. A parabola átmérőihez kapcsolt húrrendszer ... ... ... ... ... 160
124. A parabola tengelyeinek szerkesztése ... ... ... ... .. ... ... 161
125. A parabola egyenlete . . . . . ... ... ... ... ... ... ... 162
126. A kúpszeletek polárháromszögei körül írható körök ... .. ... ... 163
127. A polárháromszögek körül írható körök derékmetsző köre ... ... 165
17. §. Kúpszeletek gyújtópontjai.
128. Egymásra merőlegesen kapcsolt polárisok metszése egy kúpszeletátmérővel: involucziós pontsor . . . . . ... ... . . - . . . . 167
129. A gyújtópont értelmezése ... . . . . ... ... - . ... - - 169
130. A kúpszelet vezérvonalai és a vonósugarak ... ... ... ... ... ... 170
131. Az érintő és deréklő felezi a vonósugarak hajlásszögeit ... ... 171
132. A gyújtópont tükörképei az érintőkre vonatkozólag ... ... ... ... 172
133. A kúpszeletek vonósugarainak összege, illetve különbsége állandó. A középpontkívüliség . .. . . . . ... ... ... ... - - . . - ... 174
134. A kúpszelet mint burkolt görbe kapcsolatban a gyújtóponttal . 176
135. A kúpszelet pontjai egy körtől és egy ponttól egyenlő távolságra
vannak . ... ... ... .... . . ... 178
136. A kúpszelet, mint a gyújtóponttal és a hozzá tartozó vezérvonallal
kapcsolatos geometriai hely . . . . . . --- ... ... -- 179
III. FEJEZET.
Kúpszelet-sorok és seregek projektív vonatkozása.
18. §. Két kúpszelet közös elemei. A Steiner-féle rokonság.
137. Két kúpszelet közös kapcsolt pólusai és polárisai . - - - 181
138. Két kúpszelet közös polárháromszöge.__ - - - - - 182
139. A kúpszeletek mily helyzeténél valós a polárháromszög - - - 183
140. A közös kapcsolt pólusokat a közös kapcsolt polárháromszög szögpontjaiból projicziáló sugársorok involucziót képeznek . - - - - 185
141. Két valós közös ponttal biró kúpszelet - -- -- - - - 187
142. Két kúpszelet közös pontjai és érintői - - - - - - - 188
143. Két kúpszelet közös pontjainak szerkesztése, ha a közös polárháromszögnek egy szögpontja ismeretes --- -- - -- 189
144. Kettős érintésű kúpszeletek közös polárháromszögeiröl - - - 189
145-146. Két és három adott ponton átmenő két kúpszelet hiányzó metszőpontjainak szerkesztése . --- -- --- --- - 190
147. Az előbbieknek alkalmazása egy feladatnál ___ - 192
148. A STEINER-féle rokonság __ - - -- -- - - - 192
19. §. A kúpszeletsorról.
149. A kúpszeletsor értelmezése. A sornak egy ponton átmenő, vagy egy
egyenest érintő kúpszelete . ___ ___ --- - 194
150. A kúpszeletsorban előforduló kúpszeletek nemei. Az egyenoldalú hyperbola sor 195
151. Kúpszeletsor, melynek egyik kúpszelete: kör __ - - 197
152. Egyenes pontjaihoz kapcsolt pólusok kúpszeletsorra vonatkozólag 199
153. Egyenes pólusai kúpszeletsorra vonatkozólag __ ___ 200
154. A kúpszeletsor középponti kúpszelete ___ ___ ___ ___ 203
155. Hasonló kúpszeletek ___ ___ ___ ___ 204
20. §. A kúp szeletseregről.
156. A kúpszeletsereg értelmezése ___ __ 205
157. A kúpszeletseregnek egyenest érintő, vagy ponton átmenő kúpszelete 206
158. A kúpszeletsereg közös kapcsolt polárisai . ___ ___ 207
159. Egyenes pólusai a kúpszeletsereget illetőleg - -- 208
160. A kúpszeletsereg középponti vonala _ ... ... ... ... ... ... 209
161. Két valós érintővel biró kúpszeletsereg kúpszeletei ... ... ... 211
162. Egy pont polárisa egy kúpszeletseregre vonatkozólag ... ... ... 212
163. A parabolasereg __ __ ___ __ ___ __ ___ ___ 213
164. Konfokális kúpszeletsereg___ _ . ___ ___ ___ ___ 214
165. Kettős érintésű kúpszeletsereg __ ___ ___ 215
21. §. Kúpszeletsorok projektív vonatkozása.
166. Kúpszeletsor redukcziója egyszerű sorokra ___ ___ 216
167. A kúpszeletsor két alappontján átmenő kúpszelet ___ ___ ___ 218
168. A kúpszeletsor által két egyenesen kimetszett involucziós sorok . ___ 219
169. Mikép vonatkozható két kúpszeletsor projektív egymásra . ___ 219
170. Két involucziós pontsor, mely projektiv vonatkozású, hány megfelelőleg
közös ponttal bir . __ 219
171. Két projektiv kúpszeletsor, vagy sugár- és kúpszeletsor, képződménye 220
172. Két projektiv kúpszeletsor, mely egy megfelelőleg közös kúpszelettel bir 221
IV. FEJEZET.
A kollineaczió és recziproczitás.
22. §. A kollineaczió és külön esetei.
173. A kollinear vonatkozás fogalma - -- 224
174. A kollinear vonatkozás meghatározásához szükséges adatok 225
175. Az ellentengelyek; egyenlően-projektiv sorok a kollinear síkrendszerben 226
176. A kollineaczió-középpont és tengely . __- --- --- 227
177. Két négyszög perspektiv helyzetbe hozandó ___ -_ 229
178. Perspektiv-kollinear alakzatok charakteristikája ___ - - - 230
179. Involucziós síkrendszer - - --- --- --- -- --- 231
180-182. Affin; hasonló; összeillő síkrendszerek ___ ___ 232
183. Két ugyanegy síkban fekvő kollinear síkrendszer megfelelőleg közös
háromszöge... . ... . --- --- -.- -- -- 236
23. §. Kúpszeletek kollineacziója.
184. Két kollinear kúpszelet . - . - ... - - ... 237
185. Két ugyanegy síkban fekvő kúpszelet négyfélekép perspektiv-kollinear
alakzat . ... . ... ... - ... ..- ... - ... ... ... 239
186. Egy kúpszelettel perspektiv-kollinear kör ... ... ... ... 241
187. A kúpszelet perspektiv-kollinear ábrája, ha a kollineaczió-középpont a
kúpszeletnek egyik gyújtópontja . . . - .. . ... ... ... ... ... 242
188. A kúpszelet egy pontjának görbületi köre... ... ... ... 243
189. Kúpszeletnek, mint körrel kollinear görbének szerkesztése... ... 244
190-192. Három ponton átmenő és két egyenest érintő, valamint két pon-
ton átmenő és három egyenest érintő kúpszelet, ha két pont és két
érintő képzetes -- - - --- --- -- --- --- -- -- -245
193. Két kúpszelet perspektiv-kollinear ábrája két kör ... 250
194. Egy kúpszelet és két pont kollinear ábrája kúpszelet és annak két
gyújtópontja _ . 251
195. Kúpszelet, mely kollinear vonatkozásban önmagának felel meg_ ___ 252
196. Kúpszelet affin alakzata _ _ -- -- -- --- -- 253
197. Ellipsis tengelyeinek szerkesztése az affinitás alapján ___ ___ 254
24. §. A recziprok vonatkozás.
198. A recziprok vonatkozás fogalma ___ - - ___ 255
199. Recziprok rendszer kapcsolt átmérői és tengelyei ___ 256
200. Involucziós helyzetű recziprok síkrendszer: polárrecziprok rendszer257
201. Két, ugyanegy síkban fekvő recziprok síkrendszer involucziósan megfelelő elempárja _ __ ___ ___ 258
202. Két, ugyanegy síkban fekvő recziprok síkrendszer azon elempárja, mely
a megfelelőn fekszik, illetve azon átmegy ___ ___ ___ 260
203. Recziprok rendszerek megfelelő elemeinek szerkesztése két kettősérintésű kúpszelet segélyével ___ __ __ ___ ___ ___ 262
204. A STEINER-féle rokonsághoz analóg vonatkozás___ ___ __ 264
FÜGGELÉK.
1. A kettőspontok másnemű meghatározása 169
2. A teljes négyszög involucziós tulajdonságának speczializálása ._ 169
3. Konfiguracziók ___ . _ __ _ ___ ___ 169
4. Három érintő és egy gyújtópontból meghatározott kúpszelet 170
5. Adott ponton átmenő deréklők szerkesztése kúpszelethez __ 171
6. A szög három egyenlő részre osztása ___ ___ ___ 171

Témakörök