Műszaki matematikai gyakorlatok C. VI.

Tartalom

I. AZ ELEMI MATEMATIKA NÉHÁNY PONTOSABB ÖSSZEFÜGGÉSE ÉS TÉTELE
1. §. Aritmetika 19
1. A valós számokra vonatkozó fontosabb számolási szabályok 19
2. Az abszolút érték 19
3. Az előjel 20
4. Középértékek 20
5. Számtani (aritmetikai) és mértani (geometriai) haladvány összege 20
6. A faktoriális 20
7. A binomiális együtthatók 20
8. A binomiális tétel 20
9. Bernoulli-féle egyenlőtlenség 21
2. §. Analitikus geometria a síkban 21
1. Távolság 21
2. Koordináta-rendszer transzformációja 21
3. Egyenes egyenletei 22
4. Egyenesek metszése 22
5. Háromszög területe 23
6. Másodrendű görbék egyenletének kanonikus alakja 23
3. §. Analitikus geometria a térben 23
1. Távolság 23
2. Egyenes egyenletrendszere 23
3. Sík egyenlete 23
4. Két sík hajlásszöge 23
5. Másodrendű felületek egyenletének kanonikus alakja 23

II. SZÁMSOROZATOK ÉS VÉGTELEN SOROK
1. §. Számsorozatok 26
1. Definíció 26
2. Korlát és határ 26
3. Sűrűsödési érték; határérték 26
4. Fontosabb tételek 27
5. Cauchy-féle konvergencia-kritérium 27
6. A monotonitás tétele 27
7. Határértékek számítására vonatkozó tételek
2. §. Végtelen sorok 27
1. Definíció 27
2. Cauchy konvergencia-kritériuma 28
3. Néhány fontosabb tétel 28
4. Műveletek végtelen sorokkal 29

III. A függvényekre vonatkozó pontosabb alapfogalmak
1. §. Változó és függvény 30
1. Változó és intervallum 30
2. A függvény 30
3. A függvény megadása 30
4. Inverz függvény 31
5. Algebrai és transzcendens függvény 31
6. Páros és páratlan függvények 31
7. Periodicitás 31
8. Monotonitás; korlátosság 32
2. §. Függvény határértéke 32
1. A független változó határértéke 32
2. Függvény határértéke 32
3. A határértékekre vonatkozó néhány tétel 33
3. §. A függvény folytonossága 34
1. Definíció 34
2. A folytonosságra vonatkozó néhány tétel 34
3. Több- és baloldali folytonosság; egyenletes és szakaszonkénti folytonosság 35
4. §. A függvény ábrázolása 35
1. Egyértékű, folytonos függvény képe 35
2. Inverz függvény képe 36
3. Páros és páratlan függyvény képe 36
4. Lineáris transzformáció 36

IV. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK
1. §. Racionális egész függvények 37
1. Racionális egész függvény 37
2. Zérushelyek 37
3. Lagrange-féle interpolációs polinom 37
4. Newton-féle interpolációs polinom 37
2. §. Racionális tört függvények 39
1. Racionális tört függvény 39
2. Zérushelyek 39
3. Pólus 39
4. Hézagpont, megszüntethető szingularitás 39
5. A végtelenben való viselkedés 40
6. Racionális tört függvény részlettörtekre való felbontása 40
3. §. Exponenciális függvények 41
Definíció és fontosabb összefüggések 41
4. §. A logaritmusfüggvény 42
1. Definíció 42
2. Fontosabb összefüggések 42
5. §. Trigonometrikus függvények 43
1. Szög ívmértéke 43
2. Trigonometrikus függvények definíciója 43
3. Fontosabb összefüggések 44
4. Néhány fontos határérték 46
6. §. Az arkuszfüggvények 46
1. Definíció 46
2. Fontosabb összefüggések 47
7. §. Hiperbolikus függvények 47
1. Definíció 47
2. Pontosabb összefüggések 48
3. Pontosabb határértékek 48
8. §. Areafüggvények 49
Definíció 49
V. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
1. §. A derivált fogalma 50
1. Differenciálhányados és derivált 50
2. Geometriai jelentés 50
3. Differenciálhatóság és folytonosság 51
4. Jobb- és baloldali derivált 51
5. Differenciál 51
2. §. Differenciálási szabályok 52
1. Általános szabályok 52
2. Az alapfüggvények deriváltjai 53
3. §. Magasabbrendű deriváltak 54
1. n-edik derivált 54
2. n-edik differenciál 54
3. Leibniz-szabály 54
4. Új független változó bevezetése 54
4. §. Középértéktétel 55
1. Rolle tétele 55
2. Lagrange-féle középértéktétel 55
3. Cauchy-féle középértéktétel 55
5. §. Határozatlan alakokra vezető határértékek meghatározása 55
Bernoulli-l'Hospital szabálya 55
6. §. Grafikus és numerikus differenciálás 56
1. Grafikus differenciálás 56
2. Numerikus differenciálás 56
7. §. Függvényvizsgálat, görbediszkusszió 57
8. §. Taylor-formula 58
1. Általános alak 58
2. Más írásmódok 59
VI. EGYENLETEK MEGOLDÁSA
1. §. Algebrai egyenletek gyökeinek szétválasztása 60
1. Gyökök abszolút értékének felső korlátja 60
2. Rolle tétele 60
3. A többszörös gyökök eltávolítása 60
4. Descartes jelszabálya 60
5. Sturm tétele 60
2. §. Közelítő módszerek 61
1. Húr-módszer (regula falsi) 61
2. Érintő-módszer (Newton módszere) 61
3. Iteráció 62
4. A Ruffini-Horner-féle módszer 62

VII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
1. §. Határozatlan és határozott integrál 64
1. Határozatlan integrál 64
2. Határozott integrál 64
2. §. Integrálási szabályok 64
1. Alapintegrálok 64
2. Általános szabályok 66
3. Néhány fontosabb integrál 66
4. Néhány fontosabb határozott integrál 67
5. Határozott integrál kiszámítása helyettesítéssel 68
6. Másodfokú polinom néhány függvényének az integrálása 68
7. Racionális függvények integrálása 69
8. Racionális függvények integrálására visszavezethető integrálok 70
3. §. A határozott integrál mint összeg határértéke (Riemann-féle integrál) 71
1. Alsó és felső integrálközelítő összeg 71
2. Riemann-féle integrál 71
3. A Riemann-féle integrál néhány tulajdonsága 72
4. Görbe alatti terület 72
4. §. Az integrálszámítás középértéktétele 72
1. Középértéktétel 72
2. Adott függvény adott intervallumra vonatkozó integrál-középértékei 72
3. Integrálbecslések 73
5. §. Grafikus és numerikus integrálás 73
1. Grafikus integrálás 73
2. Numerikus integrálás 74
6. §. Az integrálszámítás néhány alkalmazása 74
1. Szektorterület kiszámítása 74
2. Térfogatszámítás a Cavalieri-féle elv alapján 75
3. Forgástest térfogata 75
4. Görbedarab ívhossza 75
5. Forgásfelület felszíne 75
6. Tömegközéppont (súlypont) koordinátái 75
7. Forgástest másodrendű nyomatéka 75
8. Pappus - Guldin-féle tételek 76
7. §. Improprius integrálok 76
1. Végtelen határú (nem korlátos tartományra kiterjesztett) integrál 76
2. Nem korlátos függvény integrálja 77

VIII. FÜGGVÉNYSOROK
1. §. Definíciók és tételek 78
1. Függvénysor 78
2. Egyenletes konvergencia 78
2. §. Hatványsorok 79
1. Definíciók 79
2. Hatványsor konvergenciája 79
3. Analitikus függvények 80
3. §. Néhány fontosabb sorfejtés 80
1. Hatványsorok 80
2. Gauss-féle hibaintegrál 81
3. Integrálszinusz-függvény 82
4. Integrállogaritmus-függvény 82
5. Elliptikus integrál 82
6. Riemann-féle zétafüggvény 82
7. Néhány közelítő formula 82
8. Néhány fontosabb sorösszeg 83
4. §. Fourier-sorok 83
1. Definíció 83
2. A Fourier-sor együtthatói 83
3. Fourier-sor konvergenciája 83
4. Dirichlet feltétele 84

IX. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
1. §. Többváltozós függvények fogalma 85
1. A többváltozós függvény 85
2. Értelmezési tartomány 85
3. Határérték, folytonosság 85
4. Többváltozós függvények szemléltetése 86
2. §. Parciális derivált 87
1. Definíció 87
2. A parciális derivált jelentése 87
3. Parciális differenciál 87
4. Differenciálhatóság. Véges növekményekre vonatkozó közelítő egyenlőség. Teljes differenciál 87
5. A kétváltozós függvényre vonatkozó véges növekmények tételének geometriai
jelentése 88
6. Iránymenti derivált 88
7. Összetett függvények 89
8. Implicit függvények 89
9. Magasabbrendű parciális deriváltak 90
10. Magasabbrendű differenciálok 90
3. §. Függvényrendszerek. Transzformációk (leképzések) 91
1. Függvényrendszerek 91
2. Jacobi-féle (függvény-) determináns 93
4. §. Taylor tétele. Középértéktétel 94
1. Taylor tétele 94
2. Középértéktétel 94
5. §. Felületi pontok osztályozása. Szélső értékek 94
1. Felületi pontok osztályozása 94
2. Kétváltozós függvény helyi szélső értéke 95
3. Többváltozós függvények helyi szélső értéke 95
4. Feltételes szélső értékek 95

X. TÖBBVÁLTOZÓS függvények integrálása
1. §. Paraméteres integrál 97
2. Paraméteres integrál paraméter szerinti differenciálása 98
2. §. Tartományintegrálok 98
1. Definíció 99
2. Tartományintegrálok alaptulajdonságai 100
3. Középértéktétel 100
4. Tartomány szerinti differenciálás 100
3. §. Kettős és hármas integrálok 100
1. Kettős integrál definíciója 100
2. Hármas integrál definíciója 101
3. Kettős integrál kiszámítása kétszeres integrálássá! 101
4. Hármas integrál kiszámítása háromszoros integrálással 102
4. §. Az integrációs változók transzformációja 102
1. Kettős integrál változóinak transzformációja 102
2. Hármas integrál változóinak transzformációja 103
5. §. Kettős cs hármas integrálok néhány alkalmazása 103
1. Síkrész területe 103
2. Hengerszerű test térfogata 104
3. Térrész térfogata 104
4. Tömegközéppont (súlypont) meghatározása 105
5. Tehetetlenségi (másodrendű) nyomatékok 105
6. Tömegeloszlás potenciálja 107

XI. SÍKGÖRBÉK DIFFERENCIÁLGEOMETRIÁJA
1. §. Érintő, normális, ívhossz 108
1. Síkgörbe előállítási, derékszögű koordináta-rendszerben 108
2. Érintő és normális 108
3. Ívhossz és ívelem 108
4. Tangens, normális, szubtangens, szubnormális 108
5. Néhány fontosabb görbe 109
2. §. Két görbe metsződése és érintkezése 110
1. Metszési szög 110
2. n-ed rendű érintkezés 110
3. §. Görbület, görbületi kör (simulókör) 110
1. Görbület 110
2. Görbületi sugár 110
3. Görbületi középpont (simulókör középpontja) 111
4. Evoluta, evolvens 111
4. §. Polárkoordináták 111
1. Polárkoordináták 111
2. Ívelem, érintő 111
3. Polártangens, polárnormális, polárszubtangens, polárszubnormális 112
4. Szektorterület 112
5. Görbület 112
6. Néhány fontosabb görbe egyenlete polárkoordinátákkal 112
5. §. Aszimptoták 112
1. Derékszögű koordinátákban 112
2. Polárkoordinátákban 113
6. §. Síkgörbék szinguláris pontjai 113
Definíció 113
7. §. Görbesereg burkolója 113
Meghatározás 113

XII. KOMPLEX SZÁMOK, KOMPLEX VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
1. §. Komplex számok értelmezése, ábrázolása és aritmetikája 114
1. Komplex számok értelmezése 114
2. Komplex számok ábrázolása 114
3. Alapműveletek komplex szám algebrai alakjával 116
4. Komplex szám trigonometrikus alakja 115
5. Műveletek trigonometrikus alakú komplex számokkal 116
6. A reciprok érték szerkesztése. Inverzió 116
2. §. Komplex változós függvényén 117
1. Definíció 117
2. Folytonosság 117
3. Differenciálhatóság 117
4. Harmonikus függvények 118
3. §. Az elemi komplex változós függvények 119
1. Exponenciális függvény. Euler-féle reláció 119
2. Logaritmusfüggvény 119
3. Trigonometrikus és hiperbolikus függvények 119
4. Arkusz- és areafüggvények 120
4. §. Kontorm leképezés 120
1. Leképezés 120
2. Konform leképezés 121
5. §. Komplex sorok 121
1. Konvergencia 121
2. Abszolút konvergencia 121
3. Hatványsorok 121
6. §. Integrálás a komplex számsíkon 121
1. Görbe menti integrál 121
2. Határozatlan integrál 122
7. §. A komplex változós függvénytan fő tétele 122
1. Az alaptétel 122
2. Cauchy integrál-képlete 122
3. A Cauchy-Taylor-féle és a Laurent-féle sor 122
4. Reguláris és szinguláris pontok osztályozása 123
5. A oo-pont 124
6. Az algebra alaptétele 1 124

XIII. VEKTORALGEBRA, DETERMINÁNSOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
I. §. Vektoralgebra 125
1. Alapfogalmak 125
2. Vektorok összeadása és kivonása 126
3. Vektor szorzása számmal (skalárral) 126
4. A vektorok lineáris függése, illetve függetlensége 127
5. Két vektor skaláris szorzata 128
6. A skaláris szorzat néhány alkalmazása 128
7. Két vektor vektoriális szorzata 128
8. Három vektor vegyes szorzata 129
9. Hármas vektorszorzat kifejtési tétele 129
10. Négyes vektorszorzatok 129
2. § Vektorok felbontása a derékszögű koordináta-rendszerben 130
1. Vektorok felbontása a derékszögű koordináta-rendszerben 130
2. A vektorokkal való műveletek elvégzése koordinátákkal 130
3. Néhány alkalmazás az analitikus geometriában 130
3. §. Koordináta-transzformációk 131
1. Párhuzamos eltolás 131
2. Origó körüli elforgatás 132
4. §. Determinánsok
1. Másodrendű determináns 132
2. Harmadrendű determináns 132
3. Determináns tételek 132
5. §. Lineáris egyenletrendszerek 132
1. Definíciók 132
2. Inhomogén lineáris egyenletrendszer 133
3. Homogén lineáris egyenletrendszer 133

XIV. A VEKTORANALÍZIS ELEMEI
1. §. Egy paraméteres vektor-skalár függvények. Térgörbék 134
1. Alapfogalmak 134
2. Derivált 135
3. Térgörbe ívhossza 135
4. Az ívhossz mint paraméter 135
5. Simulósík 136
6. Főnormális, görbület 136
7. Térgörbe kísérő triédere 136
8. A torzió 136
9. Frenet-féle képletek 136
10. Térgörbe adatainak meghatározása általános esetben 137
2. §. Két paraméteres vektor-skalár függvények. Felületek 137
1. Alapfogalmak 137
2. Deriváltak 138
3. Érintősík, normális 139
4. Felületdarab felszíne 139
3. §. Skalár-vektor függvények, skalárterek 140
1. Alapfogalmak 140
2. A gradiens vektor 141
3. Irány menti derivált 142
4. Skalár-vektor függvény görbe menti integrálja 142
5. Skalár-vektor függvény felszín-integrálja 143
4. §. Vektor-vektor függvények, vektorterek 142
1. Alapfogalmak 149
2. Derivált 144
3. Divergencia, rotáció 146
4. Vektor-vektor függvény görbe menti integrálja 146
5. Vektor-vektor függvény felületi integrálja 147
6. Vektor-vektor függvény skaláris potenciálja 147
7. Gauss-Osztrogradszkij-féle tétel 147
8. Síkbeli Gauss-Osztrogradszkij-féle tétel 147
9. Green tétele 148
10. Stokes tétele 148

XV. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
1. §. Definíciók, alapfogalmak 149
1. Definíció, osztályozás 149
2. Differenciálegyenletek megoldásai 149
2. §. Elemi integrálási módszerek elsőrendű közönséges differenciálegyenleteknél 150
1. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 150
2. Szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegyenletek 151
3. Elsőrendű lineáris és erre visszavezethető differenciálegyenletek 151
4. Egzakt differenciálegyenlet; integráló tényező 151
5. Közelítő módszerek 152
3. §. Speciális típusú másodrendű differenciálegyenletek 153
1. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek 153
2. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek 154
4. §. Lineáris differenciálegyenletek 154
1. Inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása 154
2. Állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenlet 155
3. Állandó együtthatójú inhomogén lineáris differenciálegyenlet megoldása
kísérletező feltevéssel 156
4. Euler-féle lineáris differenciálegyenlet 156
Irodalomjegyzék 157

Témakörök