Matematika IV.

Tartalom

A) KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
1. § Bevezetés 3
1. Definíciók, osztályozás 3
2. Differenciálegyenletek megoldása, a megoldások geometriai értelmezése 6
3. Összefoglaló áttekintés a már tárgyalt legegyszerűbb közönséges differenciálegyenletekről 8
Ellenőrző kérdések 11
2. § Egzakt differenciálegyenlet. Integráló tényező 12
1. Egzakt differenciálegyenlet 12
2. Integráló tényező (Euler-féle multiplikátor) 15
Feladatok 20
Példák, feladatok 22
Ellenőrző kérdések 29
3. § Elsőrendű explicit differenciálegyenlet geometriai szemléltetése. A megoldás egzisztenciájának és unicitásának
kérdése 30
1. Iránymező, izoklinák 30
Példák, feladatok 34
2. Közelítő törtvonalak módszere 38
3. Picard-féle szukcesszív approximáció (sorozatos közelítés) 40
Példák, feladatok 47
4. Grafikus integrálás parabolaívekkel 48
5. Közelítő differenciálegyenlet és a közelítés hibájának becslése 49
Példa 51
Ellenőrző kérdések 52
4.§ Elsőrendű explicit differenciálegyenlet szinguláris pontjai 53
Példák, feladatok 63
Ellenőrző kérdések 67
5. § Implicit elsőrendű differenciálegyenletek 68
1. Elsőrendű n-edfokú differenciálegyenlet 68
Példa 69
2. Szinguláris megoldások, burkolók 69
Példák, feladatok 72
Ellenőrző kérdések 75
6. § Trajektóriák 76
1. Görbesereg izogonális trajektóriái 76
Példák, feladatok 77
Ellenőrző kérdések 80
7. § Elsőrendű differenciálegyenlet megoldása hatványsor alakjában 81
Példák, feladatok 83
Ellenőrző kérdések 86
8. § Elsőrendű közönséges differenciálegyenletrendszer 87
1. Bevezetés 87
2. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletrendszer általános alakja
3. A megoldás egzisztenciájának és unicitásának a tétele 93
Példák, feladatok 96
Ellenőrző kérdések 100
9. § Elsőrendű lineáris differenciálegyenletrendszer állandó együtthatókkal 101
1. Elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenletrendszer n ismeretlen függvénnyel 101
2. A rezolvens mátrix néhány tulajdonsága 104
3. Elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer n ismeretlen függvénnyel 111
4. A rezolvens mátrix konkrét előállítása konstans A
együtthatómátrix esetén 114
Példák, feladatok 117
Ellenőrző kérdések 142
10. § Állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet egy ismeretlen függvénnyel 143
1. n-edrendü homogén lineáris differenciálegyenlet állandó
együtthatókkal 143
2. n-edrendü inhomogén lineáris differenciálegyenlet állandó együtthatókkal 148
3. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet állandó együtthatókkal 150
4. Állandó együtthatójú inhomogén lineáris differenciálegyenlet megoldása kísérletező feltevéssel 157
5. Euler-féle lineáris differenciálegyenlet 159
Példák, feladatok 159
Ellenőrző kérdések 181
11. § Lineáris differenciálegyenletek változó együtthatókkal 182
1. Elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenletrendszer változó együtthatókkal 182
Példa 187
2. Elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenletrendszer változó együtthatókkal 189
3. Általános kezdetiértékfeladat lineáris differenciálegyenletrendszereknél 190
4. Nem lineáris differenciálegyenletrendszer iterációs megoldása lineáris differenciálegyenletekből álló iterációsorozattal való apprpximálás útján 192
5. A megoldások stabilitása 195
Ellenőrző kérdések 197
12. § Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet megoldása hatványsor alakjában és differenciaegyenletekre való
visszavezetéssel 198
1. A másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldásairól 198
2. A másodrendű homogén differenciálegyenlet normál
alakja 205
3. Megoldás hatványsor alakjában 209
4. Szukcesszív approximáció másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet esetében 215
5. A Bessel-féle differenciálegyenlet 216
Példák, feladatok 229
6. Közelítő megoldás differenciaegyenletékre való visszavezetéssel 233
Ellenőrző kérdések 237
B) VÁLOGATOTT FEJEZETEK A PARCIÁLIS
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK KÖRÉBŐL
1. § Bevezetés 239
1. Parciális differenciálegyenlet és megoldásai 239
Példák 240
2. Parciális differenciálegyenletek, melyek közönséges differenciálegyenletekként tárgyalhatók 243
Példák 243
3. Függvénydetermináns, függvények függősége 245
4. Egy és kétparaméteres felületsereg burkolója 248
Példa 249
Példa 252
5. Felületelem és karakterisztikus sáv 252
Ellenőrző kérdések 255
2. § Elsőrendű lineáris parciális differenciálegyenletek 256
1. Elsőrendű homogén lineáris parciális differenciálegyenletek 256
Példa 259
Példa 262
Példa 265
Feladatok 266
2. Általános, n-változós, elsőrendű homogén lineáris parciális differenciálegyenlet 266
Példák 272
3. Elsőrendű inhomogén lineáris parciális differenciálegyenlet 276
Példák 280
Feladatok 284
Ellenőrző kérdések 284
3. § Általános elsőrendű parciális differenciálegyenletek 265
1. Karakterisztikus sáv 285
2. Kezdeti-értékfeladat megoldása 289
Példa 290
3. Két kompatibilis elsőrendű parciális differenciálegyenletből álló rendszer 292
Példa 296
4. Elsőrendű parciális differenciálegyenlet teljes-, szinguláris- és általános integrálja 297
Példa 300
Feladatok 302
Ellenőrző kérdések 302
4. § Másodrendű parciális differenciálegyenletekről 303
1. Másodrendű parciális differenciálegyenlet karakterisztikus sávjai 303
2. Másodrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet 305
Példák, feladatok 314
3. A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenletével kapcsolatos peremértékfeladat megoldása a változók szétválasztásával 319
Példák 323
Ellenőrző kérdések 347
C) A NUMERIKUS ANALÍZIS MODERN GÉPI ESZKÖZEIRŐL
1. Matematikai gépekről általában 349
2. Az információ ábrázolásának módja digitális elektronikus számológépekben 351
3. A program 356

Témakörök