Differenciálgeometria I.

Előszó

Ez a jegyzet/elsősorban/ a másodéves matematikus hallgatók részére készült a differenciálgeometria előadás segédanyagaként.
Célja kettős, egyrészt megismertetni az Olvasót a modern differenciálgeometria fogalom-alkotásaival és - a lehetőségekhez képest - a módszereivel, másrészt pedig a modern differenciálgeometrián belül tárgyalni a klasszikus görbe- és felületelmélet legfontosabb részeit. A felületelmélet ilyen tárgyalási módja a klasszikus tárgyalási módnál élesebben elkülöníti a felületek külső és belső geometriáját, jobban rámutat a beágyazó tér geometriájának és a felület belső geometriájának kapcsolatára. Tárgyalási módunk lehetővé teszi az ismertetett eszközök viszonylag könnyű általánosítását és széleskörű alkalmazhatóságát mind a matematikán belül, mind az alkalmazásokban, és ott is elsősorban az elméleti fizikában. Épp ezért célunk, az eszközök minél szélesebb körének felvonultatása, és a már meglévő eszközök - lehetőleg - többszöri alkalmazása. E célok megvalósítását azonban több tényező is korlátozza. Ilyenek, hogy tárgyunk csupán egyetlen féléven át, heti négy órában kerül előadásra, továbbá, hogy időben megelőzi a differenciálegyenletek és a variációszámítás előadást, melyekre így nem támaszkodhat, végül a topológia előadással párhuzamosan futván, arra is csak igen korlátozott mértékben építhet.
Jegyzetünkben a definíciók, képletek, lemmák, tételek és feladatok számozottak. Az első szám a §-t, a második az illető § azon pontját jelöli, ahol a szóbanforgó definíció, képlet, stb. található, végül az utolsó szám magának a definíciónak, képletnek, stb. a sorszáma. /pl. a (4.1.15.) a 4.5 1 pontjabeli 15. képlet/ A hivatkozások a teljes számhármassal történnek. A definíciót, lemmát, tételt, ill. feladatot a számhármas utáni D., L. , T., ill. F. szimbólum jelöli. /pl. 1.8. l.D. az l.§ 8. pontjában található első definíciót jelöli/.
Jegyzetünk számos feladatot tartalmaz a triviálistól a közepesen nehézig. Megoldásukat melegen javasoljuk, már csak azért is, mivel egy jelentős részük szervesen beépül az anyagba, s azokat a későbbiekben felhasználjuk.
A jegyzet Írásakor saját előadásaimon kívül támaszkodtam, ill; felhasználtam Soós Gyula professzor előadásairól készült" korábbi feljegyzéseimet. így pl. a 2.5 nagy része és a 3.5 egy jelentős rés9c: csekély módosítással Soós professzor előadása alapján készült. Vissza