Differenciál és integrálszámítás III.

Előszó

Részlet:
"11, hét.
Paraméteres függvények deriválása. - A rádiusz-vektor Magasabb"deriváltak. Paraméteres függvény deriválása. - Eddig explicit: y = f(x), vagy
implicit: F(xy) =0 alakban megadott függvények deriválásával foglalkoztunk.A függvényeket azonban még egy segédváltozó, paraméter segitségével egyenletrendszerrel is meg lehet adni. Nevezetesen, ha az x = x(t) é's
y = y(t) egyértékü függvények, amelyek az x, illetőleg y tengelyen a jt-től függő skálákat határoznak meg, akkor a fönti egyenletrendszer olyan görbének az analitikai alakjas amely görbe futópontjának Descartes-féle koordinátái épen a fönti x és y kifejezések. A közös ;fc független változót, amely a két egyenletet összekapcsolja egymással, segédváltozónak, vagy paraméternek nevezzük. Ha a különböző t értékeket a kiszámi-tott koordináták alapján megrajzolt görbének a pontjai mellé irjuk be a grafikonban, akkor a görbén a t-re egy skálái; kapunk, ami egyúttal a görbe futópontjáriak azt a haladási irányát is meghatározza, amely a t növekedésének felel meg.
Az a kérdés most, hogyan lehetne a paraméteres egyenletrendszerből az y-nak x szerinti deriváltját meghatározni. A legegyszerűbb útnak az kinálközik, hogy a két egyenletből kiküszöböljük a t -ét és akkor az y explicit alakját differenciáljuk az ismert módszerekkel; ekkor a differenciálhányadost természetesen x függvényeként kapnók meg. Erre azonban nincs szükség; de a kiküszöbölés sem mindig egészen egyszerű, és gyakran előnyösebb, ha differenciálhányadost a segédváltozé, a paraméter függvényében kapjuk meg. -
Ha az x = x(t) inverzét a t = t(x)-et behelyettesítjük az y = y(t) képlétbe, akkor az y = y ^t (x)] összetett függvényrelációt kapjuk, amelyet mint összetett függvényt már tudunk x szerint differenciálni: = . . Az első tényező könnyen megalkotható az egyenlet-rendszer y = y(t) explicit egyenletéből; a második tényezőt viszont az inverz függvény differei szabálya szerint" Vissza