Differenciál- és integrálegyenletek/Komplex függvénytan/Variációszámítás

Tartalom

Előszó 3
I Differenciálegyenletek 9
1 Általános fogalmak 11
1.1 Differenciálegyenlet fogalma, típusai 11
1.2 Megoldások fogalma 14
1.3 Egyes jelenségek differenciálegyenletei 22
2 Elsőrendű differenciálegyenletek 29
2.1 Szétválasztható változójú egyenletek 30
2.2 Szétválaszthatom visszavezethető egyenletek 34
2.2.1 Változókban homogén típusú DE 34
2.2.2 m-ed fokú homogén együtthatójú DE 35
2.2.3 Az y1=f (ax+by+r) alakú differenciálegyenlet 36
2.2.4 Az y1=f (a1x+b1y+r1/a2x+b2y+r2) alakú differenciálegyenlet 37
2.3 Elsőrendű lineáris egyenletek 39
2.4 Bernoulli-féle differenciálegyenlet 44
2.5 Ráccati-típusú differenciálegyenlet 46
2.6 Egzakt egyenlet. Integráló szorzó 50
2.6.1 m = m(x) alakú integráló szorzó esete 53
2.6.2 m - m(y) alakú integráló szorzó esete 55
2.6.3 m = m [u; (x, y)] alakú integráló szorzó esete 57
2.7 Geometriai interpretáció. Iránymező 58
2.8 Görbesereg differenciálegyenlete 61
2.9 Trajektóriák 63
2.10 Burkológörbe 66
2.11 Implicit alakú egyenletek 69
2.11.1 Vonalelem, diszkrimináns görbe 69
2.11.2 y'-ben n-edfokú differenciálegyenletek 73
2.11.3 A Lagrange-féle differenciálegyenlet 75
2.11.4 A Clairaut-féle differenciálegyenlet 76
3 Magasabb rendű egyenletek 79
3.1 Definíciók 79
3.2 Hiányos másodrendű egyenletek 81
3.3 Lineáris homogén egyenletek 84
3.4 Homogén egyenlet rendszámcsökkentése 92
3.5 Lineáris inhomogén egyenlet 94
3.6 Állandó együtthatójú homogén egyenlet 98
3.7 Állandó együtthatójú inhomogén egyenlet 104
3.8 Euler-féle egyenlet 110
3.9 Bessel-féle egyenlet 112
4 Differenciálegyenlet-rendszerek 117
4.1 Egzisztencia- és unicitás tételek 117
4.2 Változó együtthatójú homogén rendszerek 124
4.3 Alapmátrix felcserélhetőségi reláció mellett 133
4.4 Változó együtthatójú inhomogén rendszerek 134
4.5 Állandó együtthatójú rendszerek 136
4.5.1 Alapmátrix alkalmazása 136
5.2 Euler-féle módszer 138
4.5.3 Visszavezetés magasabb rendű egyenletre 140
4.6 Differenciálegyenletek közelítő megoldása 142
4.6.1 A szukcesszív approximáció módszere 142
4.6.2 Taylor-sorba fejtés alkalmazása 142
4.6.3 Határozatlan együtthatók módszere 143
4.6.4 Numerikus és szimbolikus módszerek 144
5 Peremérték feladatok 145
V 5.1 Homogén és inhomogén peremérték feladatok 145
5.2 Green-függvény 14g
5.3 Sturm-Liouvüle-féle sajátérték feladat 151
5.4 Rezgőhúr differenciálegyenlete 152
6 Stabilitás 155
6.1 Lineáris rendszerek stabilitása 155
6.2 Első közelítésre vonatkozó stabilitás 159
6.3 Ljapunov-féle direkt módszer 159
7 Elsőrendű parciális egyenletek 161
7.1 Bevezetés 161
7.2 Lineáris homogén PDE 162
7.3 Kvázilineáris inhomogén PDE 166
Irodalomjegyzék 170
II Integrálegyenletek
8 Általános fogalmak 173
8.1 Integrálegyenlet fogalma, típusai 173
8.2 Integrálegyenletek egyes alkalmazásai 176
9 Fredholm-féle integrálegyenletek 179
9.1 Elfajult magú integrálegyenletek 179
9.2 Iterációs megoldás 185
9.3 A Volterra-típusú egyenlet 189
9.4 Szimmetrikus magú egyenlet 192
10 DE és IE közötti összefüggés 197
10.1 Visszavezetés integrálegyenletre 197
10.2 Visszavezetés differenciálegyenletre 199
10.3 Kvadratúraképletek alkalmazása 202
Irodalomjegyzék 203
III Komplex függvénytan 205
11 A komplex algebra 207
11.1 Áttekintés 207
12 Komplex függvények differenciálása 213
12.1 Bevezetés 213
12.2 Határérték, folytonosság 216
12.3 Differenciálhatóság, regularitás 218
12.4 Harmonikus függvények 223
13 Elemi transzcendens függvények 225
13.1 A komplex exponenciális függvény 225
13.2 Elemi függvények 227
14 Komplex függvények integrálása 231
14.1 A vonalintegrál értelmezése 231
14.2 A komplex függvénytan főtétele 233
14.3 A primitív függvény 236
14.4 A Cauchy-féle integrálformulák 237
15 Végtelen sorok 241
15.1 Függvénysorok konvergenciája 241
15.2 Hatványsorok, Taylor-sorok 244
15.3 A Laurent-sor 248
16 A reziduum-tétel és alkalmazásai 253
16.1 A reziduum definíciója és számítása 253
16.2 A reziduum-tétel 255
16.3 Az argumentum-elv 256
16.4 Alkalmazások 258
17 A Laplace-transzformáció 261
17.1 A transzformáció értelmezése 261
17.2 A transzformáció tulajdonságai 263
17.3 Az inverz transzformáció 267
17.4 Alkalmazások 271
18 A konformis leképezés 273
18.1 A leképezésekről általában 273
18.2 A konformis leképezés 274
Irodalomjegyzék 279
IV Variációszámítás 281
19 Bevezetés 283
19.1 A variációszámítás tárgya 283
19.2 Néhány variációs feladat 284
19.3 Alapfogalmak . 288
19.4 A variációszámítás fejlődése 297
20 Lagrange módszere 299
20.1 A Lagrange-féle lem ma 299
20.2 Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet 300
20.3 Speciális alapfüggvények 304
20.4 Alkalmazások 313
21 Szükséges feltételek 321
21.1 A du Bois-Reymond-féle lemma 321
21.2 Az első szükséges feltétel 323
21.3 A második szükséges feltétel 326
Irodalomjegyzék 333
Tárgymutató 334

Témakörök