Tanári segédkönyv a gimnáziumok és szakközépiskolák III. osztályaiban a matematika tanításához

Tartalom

I. Trigonometria 3
Szögfüggvények általánosítása. Vektorok koordinátái 4
Egységvektor koordinátái. A sinus és cosinus szögfüggvény
értelmezése 360-ig 6
Forgásszög sinusa és cosinusa 7
A szögfüggvényfogalom általánosításának következményei 8
Sinustétel 10
A sinustétel alkalmazása 10
Cosinustétel 12
További példák a cosinustétel alkalmazására 13
A tangens- és cotangensfüggvény általánosítása 15
Trigonometrikus egyenletek 16
A szögfüggvények ábrázolása. A sinusfüggvény képe 18
Pí hosszúságú szakasz közelítő szerkesztése 20
A sinusfüggvény néhány transzformációja 20
Az y = cos x függvény képe 22
Egy vektor és 90 fokos elforgatottjának koordinátái 22
Az y = tg x függvény ábrázolása 23
Trigonometrikus azonosságok. Összegezési képletek 23
Hátrametszési feladat 27
Az összegezési képletek néhány következménye 27
Tangenstétel 28
Az összefüggések alkalmazásai 28
Feladatok 30
Tematikus óraterv a "Trigonometria" című anyagrész tanításához 67
II. Koordinátageometria 78
Az egyenes 78
Helyvektor 78
Az egyenes paraméteres vektoregyenlete 79
Két vektor összegének és különbségének koordinátái. Egy vektorszám szorosának koordinátái 80
Szakasz felező- és harmadolópontjának koordinátái 80
A háromszög súlypontjának koordinátái 82
Az egyenes paraméteres egyenletrendszere 84
A Po(xo; yo) ponton átmenő v(v1;v2) irányvektorú egyenes egyenlete 85
A koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenes egyenlete 87
Két ponton átmenő egyenes egyenlete 88
A P1(x1, y1) ponton áthaladó n (A; B) normál vektorú egyenes egyenlete 88
Két egyenes metszéspontjának koordinátái 89
Az egyenes és a kétismeretlenes elsőfokú egyenlet 89
A párhuzamosság és a merőlegesség feltétele 90
Az egyenes iránytangense 91
A C (u;v) ponton átmenő r iránytangensű egyenes egyenlete 92
Egyenessel kapcsolatos különböző feladatok 92
Az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásainak száma 92
Pont és egyenes távolsága. Két pont távolsága 93
A kör 1 93
A C (u; v) középpontú, r sugarú kör egyenlete 93
Körrel kapcsolatos feladatok 94
A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet 95
Egyenes és kör kölcsönös helyzete 95
Az ellipszis 96
A kör merőleges vetülete 96
Merőleges affinitás 97
Az ellipszis származtatása. Szimmetriatulajdonságai 97
Az ellipszis középponti egyenlete 98
Az ellipszis fókuszai 98
A hiperbola 99
A hiperbola mint mértani hely 99
A hiperbola pontjainak szerkesztése, szimmetriatulajdonságai 99
A parabola 100
Egy szerkesztési feladat 100
A parabola mint mértani hely. A parabola tengelyponti egyenlete 100
Három ponton átmenő és az y tengellyel párhuzamos
tengelyű parabola egyenlete 101
Parabolával kapcsolatos feladatok 101
Parabolák hasonlósága 103
Feladatok 103
Tematikus óraterv a "Koordinátageometria" című anyagrész tanításához 140
III. Differenciálszámítás 151
Általános megjegyzések 151
Bevezetés 152
1. A függvény határértéke 153
Függvény határértéke a végtelenben 152
Függvény határértéke a végesben 157
Jobb és bal oldali határérték 158
A függvény folytonossága, a - határértéke 158
Megjegyzések a feladatokhoz 159
Tematikus óraterv a "Függvény határértéke" című anyagrész tanításához 164
2. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás és a változó mozgás vizsgálata 169
Az,egyenletes mozgás és a változó mozgás fogalma 169
Az egyenes vonalú egyenletes mozgás útfüggvénye és sebességfüggvénye 170
Szakaszonként egyenletes mozgás 170
Változó mozgás vizsgálata 171
A gépkocsi mozgásának vizsgálata a t = 3 sec időpontban 172
Az s = t függvénnyel leírt mozgás sebességfüggvénye 172
Az átlagsebesség és a pillanatnyi sebesség geometriai jelentése 174
Megjegyzések a feladatokhoz 177
Tematikus .óraterv "Az egyenes vonalú egyenletes mozgás és
a változó mozgás vizsgálata" című anyagrész tanításához 183
3. Másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok 186
Megjegyzések a feladatokhoz 189
Tematikus óraterv a "Másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok" című anyagrész tanításához 194
4. A differenciahányados és a differenciálhányados 196
Harmadfokú függvényre vezető szélsőérték-feladat 196
Az y = x függvényvizsgálata 197
A szélsőérték-feladat megoldása 198
A differenciahányados és a differenciálhányados 198
Megjegyzések a feladatokhoz 199
Tematikus óraterv "A differenciahányados és a differenciái -
hányados" című anyagrész tanításához 203
5. Differenciálható függvények menetének vizsgálata 205
Megjegyzések a feladatokhoz 208
Tematikus óraterv a "Differenciálható függvények menetének
vizsgálata" című anyagrész tanításához 215
6. Harmonikus rezgőmozgás 216
Megjegyzések a feladatokhoz 216
Tematikus óraterv a "Harmonikus rezgőmozgás" című
anyagrész tanításához 220
7. Deriválási szabályok 221
Állandóval szorzott függvény deriváltja 221
Az y = 1/x függvény deriváltja 222
Az y = x függvény deriváltja 222
Az y = 1/v(x) függvény deriváltja 223
Szorzatfüggvény deriváltja 224
Hányadosfüggvény deriváltja 225
Közvetett függvény fogalma 225
Közvetett függvény deriváltja 226
Megjegyzések a feladatokhoz 230
Tematikus óraterv a "Deriválási szabályok" című anyagrész tanításához 255
8. Összefoglalás 259
Megjegyzések a feladatokhoz 261
Tematikus óraterv az "Összefoglalás" című anyagrész tanításához 276
Irodalom 278
IV. Sorozatok 279
A számsorozat fogalma 279
Korlátos sorozatok 280
Konvergens, divergens sorozatok 280
Néhány egyszerű sorozat határértéke 281
A mértani sor összege 282
Megjegyzések a feladatokhoz 284
Tematikus óraterv a "Sorozatok" című anyagrész tanításához 296
Ismétlés a tanév végén 302

Témakörök