Projektív geometria

Tartalom

1. Bevezetés 1
1.1. A projektív geometria kialakulása 1
1.2. A perspektív rajzolás és az ideális pontok bevezetése 5
1.3. A valós projektív egyenes és projektív sík topologikus szerkezete 12
2. Vektorterekhez asszociált projektív terek 17
2.1. Csoportok, gyűrűk, ferdetestek és testek 18
2.2. Ferdetest feletti vektorterek és altereik 20
2.3. Bázis, koordináták, dimenzió 21
2.4. Egy vektortérhez asszociált projektív tér 24
2.5. Projektív koordináta-rendszerek 26
2.5.1. Homogén koordináták 26
2.5.2. Lokális koordináta-rendszerek 27
2.5.3. Homogén koordináta-rendszer megadása az alapszimplexszel és egységponttal 27
2.5.4. Egy Descartes-féle koordináta-rendszerhez illeszkedő homogén koordináta-rendszer 29
2.5.5. Grassman- és Plücker-koordináták 29
2.6. Desargues és Papposz tételei 36
3. Példák 43
3.1. Véges testek feletti projektív terek 43
3.2. A komplex projektív terek és a Hopf-fibrálás 48
3.2.1. Kitérő: Sztereografikus projekció és inverzió 49
3.2.2. A Hopf-fibrálás sztereografikus képe 52
3.3. Kvaterniók 57
3.3.1. A kvaterniók bevezetése 57
3.3.2. Kvaterniók és az SU(2), SO(3), SO(4) mátrixcsoportok 59
4. A projektív terek axiomatikus tárgyalása 67
4.1. Az n-dimenziós projektív tér illeszkedési axiómái 67
4.2. A duális tér és a dualitás elve 73
4.3. Desargues tétele és az illeszkedési axiómák 77
4.3.1. A Desargues-tétel bizonyítása az n > 3-dimenziós projektív tér illeszkedési axiómáiból 77
4.3.2. Moulton nem-desarguesi síkja 79
4.3.3. A Cayley-féle projektív sík 80
4.4. Kollineációk 91
5. Desargues-féle projektív terek 101
5.1. Fő eredmények 101
5.2. Az F ferdetest konstrukciója 102
5.3. A V és PG(2,F) közti kollineáció konstrukciója 109
6. A projektív geometria alaptétele 113
6.1. A PGL(n + 1,F) projektív általános lineáris csoport 113
6.2. Az F automorfizmusai által indukált kollineációk 118
6.3. Polaritások 124
7. Kettősviszony 135
7.1. Kettősviszony 135
7.1.1. Kettősviszony a klasszikus projektív síkon 142
7.2. Egyenesek közti projektivitások 146
7.2.1. Euklidészi fixpontszerkesztés a klasszikus projektív síkban 162
8. Másodrendű görbék és felületek 165
8.1. Másodrendű felületek 165
8.2. Másodrendű görbék 185
8.2.1. Kúpszeletek az euklidészi síkon 199
9. Algebrai görbék, Bézout tétele 207
9.1. Az algebrai geometria elemei 207
9.1.1. Projektív algebrai halmazok 219
9.2. Algebrai hiperfelületek és algebrai síkgörbék 222
9.3. Bézout tétele 226
9.3.1. Két algebrai síkgörbe metszési multiplicitása egy pontban 231
9.3.2. Bézout tételének erős változata 239
9.4. A poláris és a Hesse-görbe 241
9.5. Lineáris görberendszerek 248
10. Kúpszeletsorok és Poncelet tétele 253
10.1. Kúpszeletsorok 253
10.1.1. Kúpszeletsorok a valós síkon 265
10.2. Poncelet tétele 269
11. Harmadrendű görbék 279
11.1. Harmadrendű síkgörbék 279
11.1.1. Harmadrendű görbék a klasszikus euklidészi síkon 288
Irodalomjegyzék 290
Tárgymutató 297

Témakörök