Valós függvénytan

Előszó

Ez a jegyzet az analízisnek azokat a fejezeteit tárgyalja, amelyeket "valós függvénytan" néven szoktak összefoglalni. Ez az elnevezés történetileg alakult ki és általánosan használatos, azonban a lényegre alig mutat rá. Helyesebb volna az "általános függvénytan" elnevezés használata; valójában arról van ugyanis szó, hogy azokat a fogalmakat és tételeket, amelyeket az analízis elemeiben a függvényeknek valamely szűkebb osztályára alkalmazva megismerünk, igyekszünk most a függvényeknek minél tágabb körére átvinni.
Érdemes röviden megemlíteni, hogyan alakult ki ennek a kérdéskörnek "valós függvénytan" elnevezése. A differenciál- és integrálszámítás felfedezése után mintegy másfél századon át számos függvényekkel és függvényekre alkalmazható műveletekkel kapcsolatos összefüggést fedeztek fel, a vizsgálat során mindig valamilyen jól ismert és könnyen kezelhető függvénytípusra (pl. polinomokra, racionális függvényekre, trigonometrikus, exponenciális, logaritmus- stb. függvényekre) gondolva. Sohasem merült fel az a kérdés, hogy egy-egy ilyen vizsgálat valójában milyen általánosságban helytálló; ilyen pontatlan felfogás mellett természetesen előadódhattak és elő is adódtak ellentmondások, s ezek arra vezettek a XIX. század elején, hogy az analízis alapvető fogalmait igyekeztek pontosan definiálni, a tételeket e definíciókra alapozva pontosan bizonyítani, az egyes bizonyítások során a szereplő függvényekre vonatkozóanolyan kikötéseket előírva, amelyek az alkalmazott gondolatmenet helyességét garantálják. Így többnyire olyan megállapításokhoz jutottak, amelyek folytonos, differenciálható, esetleg többször differenciálható függvényekre vonatkoztak, és sokáig úgy látszott, hogy érdekes, jól alkalmazható eredmények csak a kikötéseknek ilyen szűkre szabása mellett nyerhetők... Vissza