Matematika a tanítóképző intézetek harmadik évfolyama számára

Tartalom

Előszó ........................................................................3
I. FEJEZET (Dr. Göndöcs László)
Komplex számok...................... . . .............5
1. Az uj számtest kialakulása....................................5
a) Geometriai meggondolások. .............................5
b) Müveletek értelmezése....................................7
c) A komplex számtest........................................9
2. A komplex szám szerkezete..................................13
3. A komplex szám konjugáltja és abszolút értéke .... 15
4. A komplex számokkal végzett műveletek és a geometriai transzformációk kapcsolata............................19
5. A komplex számok trigonometrikus alakja..............25
6. Moivre-képlet és az egységgyökök (Olvasmány). ... 30
7. A számfogalom felépítésének összefoglalása és további általánosításának kérdése.............. . 34
8. A komplex szám és a valóság kapcsolata..................36
9. Feladatok..................................................37
II. FEJEZET (Borsodi István)
A kombinatorika és a valószinüségszámitás elemei................40
1. Permutációk................................................40
a) A permutáció értelmezése................................40
b) Egy-, két-, három- és négyelemü halmaz
permutálása...............................44
c) A permutációk száma......................................48
d) Az ismétléses permutációk..............................50
e) Az ismétléses permutációk száma......................53
f) Feladatok..................................55
2. Variációk............................ . 57
a) Az ismétlés nélküli variációk értelmezése..........57
b) Négyelemü halmaz ismétlés nélküli variációi ... 59
c) Az ismétlés nélküli variációk száma..................67
d) Ismétléses variációk..............................69
e) Háromelemű halmaz ismétléses variációi............70
f) Az ismétléses variációk száma..........................72
g) Feladatok......................................................76
3. Kombinációk......................................................77
a) Az ismétlés nélküli kombináció értelmezése ... 77
b) A kombinációk képzésének módja......................80
c) A binominális együtthatók................................84
d) A binomiális tétel......................................89
e) Feladatok..................................92
4. Az esemény és a valószinüség matematikai fogalma 94
a) A valószinüségszámitás tárgya..........................94
b) Eseményalgebra............................................94
c) A valószinüség értelmezése............................101
d) Feladatok......................................................106
5. A valószinüségek klasszikus kombinatorikai kiszámítása .....................107
a) Az esemény be nem következésének (komplementer esemény bekövetkezésének) valószinüsége . . 108
b) Egymást kizáró események bekövetkezésének valószinüsége . ................109
c) Kombinatorikus eszközök alkalmazása a valőszinüségszámitásban..........................................111
d) Egymástól független események egyidejű bekövetkezésének valószinüsége..................................115
e) Feltételes valószinüség..................................118
f) Feladatok..............................124
III. FEJEZET (Dr. Göndöcs László)
Polinomok ....................................................................127
1. A fogalom kialakulása........................................127
2. Polinomgyürü....................................................129
3. Maradékos osztás a polinomgyürüben.............131
4. Polinomok oszthatósága és az irreducibilitás..........133
5. Polinomok helyettesítési értéke, gyökök................136
6. Többhatározatlanu polinomok................................139
7. Polinomok racionális gyökeinek meghatározása ... 140
8. Feladatok................ .........................142
IV. FEJEZET (Dr. Göndöcs László)
Függvények.............................................143
1. A fogalom kialakulása a tanitás-tanulás folyamatában 143
2. Relációk, függvények.........................156
a) Relációk......................................................156
b) A függvények................................................158
3. A függvény megadásának módja ...........................160
4. Egymással inverz függvények......................164
5. A függvényfogalom megközelítésének másik módja
(Olvasmány).................................165
6. A függvények ábrázolása......................................166
a) A függvény jelölése........................................166
b) A függvény grafikonja.......................167
c) Függvények egyenlősége..................................169
d) A sorozatok mint függvények............................173
7. Függvény inverzének keresése..............................175
8. Összetett függvények (Olvasmány)........................179
9. Az izomorfia (Olvasmány) ... ..........................184
10. A müveletek mint függvények................................188
11. A függvények osztályozása és fajtái ............190
a) Egy- és többváltozós függvények ......................190
b) Első és magasabb fokú függvények (polinomfüggvények) ..........................191
c) Valós függvények............................................191
d) Az értelmezési tartomány kijelölése..................192
e) Korlátos függvények........................................195
f) Monoton függvények........................................197
g) Páros és páratlan függvények....................198
h) Periodikus függvények......................................199
12. Feladatok.................................................200
13. Elemi függvények................................................204
a) Racionális egészfüggvények......................204
b) Racionális törtfüggvények................................206
c) Hatványfüggvény............................................210
d) Algebrai függvények........................................211
e) Transzcendens függvények...................212
14. A függvények elemi vizsgálata..............................217
15. Feladatok..........................................................219
V. FEJEZET (Dr. Göndöcs László)
Egyenletek és egyenlőtlenségek............................225
1. Egyenlőségek, egyenletek és egyenlőtlenségek értelmezése ..........................225
2. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása..............226
3. Elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenségek ...... 231
4. Első fokú egyváltozós egyenlőtlenség-rendszerek . . 233
5. Elsőfokú többváltozós egyenlőtlenség-rendszerek . . 236
a) A sik elemi ponttartományai............................236
b) Lineáris többváltozós egyenlőtlenség-rendszerek megoldása.............239
6. Magasabb fokú egyváltozós egyenletek és egyenlőtlenségek .......................................243
a) Magasabb fokú egyváltozós egyenletek gyöke .... 243
b) Másodfokú egy- és kétváltozós egyenlőtlenségek 246
c) Magasabb fokú többváltozós egyenlőtlenségek . . . 250
7. Feladatok..................................252
VI. FEJEZET (Borsodi István)
A matematikai logika elemei...........................255
1. Az állítás és tagadása.................... . . 255
a) Az ítélet........................................................255
b) A logikai müvelet............ ...................257
c) A logikai értékekkel végzett müvelet..................258
d) A negáció..........................................261
e) Többszörös negáció ........................................263
f) Feladatok.................................264
2. A konjunkció és a diszjunkció................................266
a) A konjunkció értelmezése..................................266
b) A diszjunkció értelmezése................................268
c) A konjunkció és a diszjunkció ábrázolása............272
d) A konjunkció és a diszjunkció azonosságai ..........273
e) Feladatok............................................278
3. Az implikáció és az ekvivalencia............................281
a) Az implikáció értelmezése................................281
b) A feltételes állítás a köznyelvben ......................283
c) Szükséges feltétel, elegendő feltétel ..................284
d) Az ekvivalencia értelmezése ............................285
e) Az implikáció és az ekvivalencia ábrázolása .... 287
f) Az implikáció és az ekvivalencia azonosságai . . . 289
g) Feladatok . . . ...............................................293
4. Formulák és azonosságok (Olvasmány) .........
a) A konjunkció és a diszjunkció tagadása ........ 294
b) Az implikáció kifejezése a diszjunkcióval és a
negációval......................................................295
c) Kontrapozició ......................................297
d) Az ekvivalencia kifejezése................297
e) A helyettesítés és a pótlás................................299
f) Példák ..........................................................301
g) Feladatok.......................... 304
5. Következtetések és következtetésformák..................305
a) A következmény értelmezése..........................305
b) Nevezetes következtetési formák............308
c) Kvantorok és kvantorkövetkeztetések.........314
d) Feladatok......................................................319
VII. FEJEZET (Borsodi István)
A matematika módszerei....................................321
1. Az induktív módszer............................................321
2. Axiomatikus módszer.......................................323
3. A geometriai axiomatikus tárgyalása................325
4. Az axiomatikus módszer alkalmazása a matematika
különböző ágaiban (Olvasmány).........................................329
Irodalom.................................................331

Témakörök