Biomatematika

Tartalom

Bevezetés 1
1. Mérés, mértékek, skálák 2
2. Halmazok, halmazműveletek 4
2.1. A halmazok meghatározása 4
2.2. Halmazműveletek 5
2.2.1. Egy halmaz komplementerének képzése 6
2.2.2. Két halmaz egyesítése 6
2.2.3. Két halmaz metszete 7
2.2.4. Két halmaz különbsége 7
2.3. A halmazműveletek sorrendje 8
3. Függvények 12
3.1. A lineáris függvény 13
3.2. A hatványfüggvény 14
3.3. Az exponenciális függvény 17
3.4. Az inverz függvény 18
3.5. A logaritmusfüggvény 20
3.5.1. A logaritmikus skála biológiai alkalmazásai 22
3.6. A periodikus függvények 25
4. Differenciálszámítás 27
4.1. A derivált fogalma 27
4.2. Differenciálási szabályok 30
4.3. Függvényvizsgálat 32
4.3.1. Szélsőértékek és inflexiós pont 32
4.3.2. Konvexitás 33
4.3.3. Példa függvényvizsgálatra 34
5. Integrálszámítás 36
5.1. A primitív függvény 36
5.2. A határozott integrál 37
6. Közönséges differenciálegyenletek 41
6.1. Differenciálegyenletek vizsgálata 42
6.1.1. A differenciálegyenlet 42
6.1.2. Születési és halálozási folyamatok 44
6.1.3. Ionizáló sugárzásnak kitett élő szövet modellje 45
6.2. Az f'(x) = a * f(x) f b differenciálegyenlet 45
6.2.1. Korlátozott növekedés 46
7. Néhány gyógyszerkinetikai modell 47
7.1. Gyógyszerek eloszlása a szervezetben 47
7.2. Matematikai modellek a gyógyszerkinetikában 49
8. Populációdinamika 56
8.1. Egy faj populációjának változása 56
8.1.1. A Malthus-féle modell 56
8.1.2. A logisztikus növekedés modellje 59
8.1.3. Korösszetételtől függő növekedés 61
8.2. Több faj interakciója 65
8.2.1. Lotka - Volterra kompetíció 65
8.2.2. A Lotka-Volterra-féle zsákmány-ragadozó modell 68
9. Kombinatorika 78
9.1. Permutációk 78
9.2. Variációk 79
9.3. Kombinációk 80
10. Lineáris programozás 82
10.1. Kétváltozós feladat megoldása grafikusan 82
10.2. Többváltozós feladat 84
10.3. A lineáris algebra elemei 85
10.4. A lineáris programozási feladat mátrixos alakja 88
11. Valószínűségszámítás 91
11.1. Bevezetés, alapfogalmak 91
11.2. Valószínűségi modellek 94
11.2.1. A klasszikus valószínűségi modell 94
11.2.2. A tapasztalati (empirikus) valószínűségi modell 94
11.2.3. Szubjektív valószínűségek 95
11.3. Események, eseményalgebra 95
11.3.1. Műveletek eseményekkel 96
11.4. Valószínűség 100
11.5. A valószínűségszámítás klasszikus modellje 102
11.6. Relatív gyakoriság, a nagy számok törvénye 105
11.7. Feltételes valószínűség, események függetlensége 106
11.8. A teljes valószínűség tétele 109
11.9. Bayes tétele 112
12. Valószínűségi változók, eloszlások 115
12.1. Valószínűségi változók 115
12.2. Valószínűségi változók függetlensége 119
12.3. Mintavétel 122
12.4. Nevezetes diszkrét eloszlások
12.5. Véletlen változók jellemzése néhány számmal 131
12.5.1. Módusz fa legvalószínűbb érték") 131
12.5.2. Medián., 131
12.5.3. Kvantilisek 132
12.5.4. Várható érték ("átlagos érték", "középérték") 133
12.5.5. Szórásnégyzet ("átlagos négyzetes eltérés", variancia) 135
12.5.6. Kovariancia, korreláció 137
12.6. Folytonos valószínűségi változók 138
12.6.1. Módusz 142
12.6.2. Medián és kvantilisek 142
12.6.3. Várható érték, szórásnégyzet 142
12.6.4. Együttes eloszlás, függetlenség 142
12.6.5. Kovariancia, korrelációs együttható 143
12.7. A normális eloszlás 143
13. Statisztika 147
13.1. Bevezetés, alapfogalmak 147
13.2. Valószínűségszámítás és statisztika 148
14. Leíró statisztika 150
14.1. Mintavételezés 150
14.2. A hisztogram 151
14.3. Középértékek 154
14.4. A szórás 156
14.4.1. A szóródás mérőszámai 156
14 4 2. A szórás eredete 157
14.4.3. A metodikai hiba 158
14.5. A szabadsági fok 159
15. Becslés 160
15.1. A populációátlag becslése a mintaátlaggal 160
15.2. Konfidencia-intervallumok 162
15.2.1. A minta elemszámának becslése 163
15.3. A szórás becslése 163
16. Hipotézisvizsgálatok 166
16.1. Általános leírás 166
16.2. A null- és az alternatív hipotézis 169
16.2.1. Az 1. és 2. fajú hiba 170
16.3. Kétoldali alternatív hipotézis 171
16.4. Más módszerek hipotézisvizsgálatokra 173
16.4.1. P-értékek 173
16.4.2. Hipotézisvizsgálat konfidencia-intervallumokkal 174
16.5. Kétmintás próbák 174
16.6. Páros /-próba 176
16.7. Az F-próba 177
16.8. A x1 -próba 180
16.9. Homogenitásvizsgálat 183
17. Varianciaanalízis 184
17.1. A kezelések közötti és belüli variancia 184
17.2. Az ANOVA táblázat 188
17.3. Néhány megjegyzés a statisztikai hipotézisvizsgálatokhoz és a
kísérlettervezéshez 191
18. Regresszió- és korrelációanalízis 193
18.1. Lineáris regresszió 193
18.2. A hibatag 195
18.3. Az a és b paraméterek becslése 195
18.3.1. e szórásának becslése 197
18.4. A paraméterek konfidencia-intervallumai 197
18.5. A korrelációs és determinációs együttható 198
18.6. Lineárisra visszavezethető regressziók 200
18.6.1. Reciprok (hiperbolikus) regresszió 201
18.6.2. Logaritmikus összefüggés 202
18.6.3. Hatványfüggvény 203
18.6.4. Exponenciális regresszió 204
18.6.5. A telítődési és a logisztikus függvény 204
18.6.6. Polinomiális regresszió 206
18.7. Többváltozós lineáris regresszió 207
Irodalomjegyzék 210
Táblázatok 211

Témakörök