Bevezetés az alkalmazott matematikába

Tartalom

Előszó 9
Fontosabb jelölések és rövidítések 10
Halmazelmélet 14
A halmaz fogalma, jelölések 14
Részhalmaz, hatvány halmaz 16
Halmazok szemléltetése 17
Műveletek halmazokkal 17
Számhalmazok 23
A természetes számok halmaza 23
Az egész számok halmaza 25
A racionális számok halmaza 25
A valós számok halmaza 26
Komplex számok 31
A komplex számok algebrai alakja 32
Komplex számok szemléltetése 32
Műveletek komplex számokkal 33
A komplex számok trigonometrikus alakja 36
Relációk és függvények 42
A Descartes-szorzat, a reláció fogalma 42
A reláció értelmezési tartománya, értékkészlete, inverze, az összetett reláció 45
Relációk tulajdonságai, nevezetes relációk 46
A függvény fogalma 47
Halmazok számossága 49
Egyváltozós valós függvények 51
Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 51
Zérushely 51
Korlátosság 54
Monotonitás 55
Szélsőérték 57
Konvex és konkáv függvények 58
Inflexiós pont 60
Páros és páratlan függvények 61
Periodikus függvények 64
Az egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai 64
Algebrai függvények 65
Transzcendens függvények 71
Egyéb nevezetes függvények 78
Függvénytranszformációk 80
A Dirichlet-függvény 87
Sorozatok 88
A sorozat definíciója 88
A sorozat megadása 88
Sorozatok szemléltetése 89
Műveletek sorozatokkal 90
A sorozat tulajdonságai 90
Sorozat konvergenciája 96
Sorozatok határértékének kiszámítására vonatkozó tételek 101
Részsorozat 103
Végtelen mint határérték 104
Torlódási pont 104
Nevezetes határértékek 106
A számtani és a mértani sorozat 110
A mértani sorozat alkalmazásai 111
Kamatos kamat számítás 111
Járadékszámítás 113
Kölcsönök törlesztése 114
Ismétlődő beruházások 115
Hozadékszámítás 116
Végtelen sorok 118
Abszolút konvergencia 121
Konvergenciakritériumok 121
Műveletek konvergens sorokkal 125
Tizedes törtek 127
Függvények határértéke és folytonossága 129
Függvények határértéke véges helyen 129
Határérték a végtelenben 138
Függvények folytonossága 140
Differenciálszámítás 143
A differencia- és a differenciálhányados fogalma 143
A folytonosság és a differenciálhatóság kapcsolata 147
Deriválási szabályok 148
Az elemi függvények deriváltjai 150
Középértéktételek 158
A L'Hospital-szabály 159
Magasabbrendű deriváltak 163
Teljes függvényvizsgálat 166
Integrálszámítás 174
A primitív függvény és a határozatlan integrál fogalma 174
Alapintegrálok 176
Integrálási szabályok 177
A határozott integrál fogalma 182
Az integrál és a derivált kapcsolata 188
Az integrálszámítás alkalmazásai 190
Terület számít ás 190
Görbék ívhosszának meghatározása 194
Térfogatszámítás 195
Improprius integrál 197
Mátrixok és determinánsok 200
A mátrix fogalma 200
A mátrix transzponáltja 201
Speciális mátrixok 202
Műveletek mátrixokkal 203
Mátrix inverze 208
A determinánsfüggvény 209
A determinánsfüggvény néhány tulajdonsága 210
Vektorterek 216
A vektortér fogalma 216
Lineáris kombináció, lineáris függetlenség, lineáris függőség 217
Generátorrendszer, dimenzió, bázis 221
Altér, rang, kompatibilitás 222
Lineáris egyenletrendszerek 226
A lineáris egyenletrendszer fogalma 226
Lineáris egyenletrendszerek megoldása 226
Egyenletrendszerek megoldása Gauss-eliminációval 227
Az egyenletrendszer mátrixos alakja 234
A Cramer-szabály 235
A homogén egyenletrendszer megoldásáról 237
A bázistranszformáció és alkalmazásai 240
Az elemi bázistranszformáció 240
Az elemi bázistranszformáció alkalmazásai 242
Lineáris függőség/függetlenség meghatározása 242
A kompatibilitás vizsgálata 243
Mátrix/vektorrendszer rangjának megállapítása 245
Mátrix inverzének meghatározása 245
Egyenletrendszer megoldása 246
Bevezetés a lineáris programozásba 250
Lineáris programozási (LP) modell 254
Grafikus megoldás 254
Az LP feladatok csoportosítása 259
Normál feladat megoldása szimplex módszerrel 259
A normál feladat megoldása során fellépő problémák 262
Módosított normál feladat 264
Általános maximum feladat megoldása 268
Többváltozós függvények 272
Euklideszi tér, skaláris szorzat, norma, távolság 272
Lineáris leképezések 274
Többváltozós függvények határértéke, folytonossága 275
Parciális deriváltak 275
Deriválási szabályok 277
Többváltozós függvények szélsőérték-számítása 280
Többváltozós függvények lokális és globális maximuma és minimuma 280
A magasabbrendű parciális derivált fogalma 281
A szélsőérték létezésének szükséges és elégséges feltétele 282
Feltételes szélsőérték 285
A feltételes szélsőérték létezésének szükséges feltétele 287
Kettős integrál 288
Kombinatorika 294
Permutáció 294
Ismétlés nélküli permutáció 294
Ismétléses permutáció 295
Variáció 296
Ismétlés nélküli variáció 296
Ismétléses variáció 296
Kombináció 297
Ismétlés nélküli kombináció 297
Ismétléses kombináció 298
A binomiális tétel 299
A binomiális együtthatók néhány tulajdonsága 300
Valószínűségszámítás 302
A valószínűség kiszámításának módjai 309
A klasszikus meghatározási mód 309
A visszatevéses mintavétel 311
A visszatevés nélküli mintavétel 312
A valószínűség geometriai kiszámítási módja 312
A feltételes valószínűség 314
Események függetlensége 315
A teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel 316
Valószínűségi változók 319
Nevezetes diszkrét eloszlások 325
A binomiális eloszlás 325
A hipergeometrikus eloszlás 327
A geometriai eloszlás 328
A Poisson-eloszlás 328
Nevezetes abszolút folytonos eloszlások 328
Az egyenletes eloszlás 328
Az exponenciális eloszlás 329
A normális eloszlás 329
A nagy számok törvényei 331
Tárgymutató 333
Irodalomjegyzék 342