Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe

Előszó

A fizikában fellépő fogalmak egy része nem írható le csupán egyetlen számadattal. Így például az erőnek, elmozdulásának és a sebességének nemcsak nagysága, hanem iránya is van. E mennyiségeket irányított szakaszokkal, úgynevezett geometriai vektorokkal szokás szemléltetni. A geometriai vektorok körében értelmezhető az összeadás (a paralelogramma szabállyal) és a számmal való szorzás. Hasonlóképpen, számos gyakorlati probléma vezethető vissza egy n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldására, ahol n igen gyakran nagyobb, mint 3. Ezen egyenletrendszerek megoldásai szám n-esek összeadását és számmal való szorzását a megfelelő komponenskénti műveletekkel. Kiderül, hogy - homogén rendszer esetén - a megoldáshalmazok e műveletekre nézve zártak. Tetszőleges [a,b] intervallumon értelmezett folytonos, differenciálható vagy integrálható függvények körében is értelmezhető az összeadás és a számmal (skalárral) való szorzás. A matematikai analízisből tudjuk, hogy e két művelet nem vezet ki a megadott függvényosztályokból.
A fenti példák mindegyikében egy adott halmazon két művelet, egy összeadás és egy számmal való szorzás van értelmezve. Tüzetesebb vizsgálódás után láthatjuk, hogy e műveletek a geometriai vektorok, a szám n-esek és a függvények körében hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek. Így például az összeadás minden esetben kommutatív, azaz független a tagok sorrendjétől. A közös tulajdonságokat axiómáknak megtéve jutunk el a vektorér fogalmához. A geometriai vektorok és a szám n-esek véges, a folytonos, a differenciálható és az integrálható függvények pedig végtelen dimenziós vektorteret alkotnak. Célunk a véges dimenziós vektorterek, s ezek lineáris transzformációinak leírása. E mellett rámutatunk arra is, hogy a végtelen dimenziós vektorterekben mely tulajdonságok maradnak változatlanul érvényben, s mely területeken vannak lényeges eltérések. Vissza