Bevezetés a numerikus analízisbe

Tartalom

Tartalomjegyzék 5
1. Bevezetés 9
1.1. A numerikus analízis feladata, alapfogalmak 9
1.2. Egész és valós számok tárolása 13
1.3. Hibaanalízis 21
1.4. A véges számábrázolás következményei 24
2. Nemlineáris egyenletek, egyenletrendszerek 29
2.1. Analízis előismeretek 29
2.2. Fixpont iteráció 31
2.3. Intervallumfelezés módszere 36
2.4. Húrmódszer 38
2.5. Newton-módszer 41
2.6. Szelőmódszer 43
2.7. Konvergencia rendje 46
2.8. Iterációs módszerek megállási feltételei 53
2.9. Müller-módszer 54
2.10. Aitken-féle gyorsítás, Steffensen-módszer 57
2.11. Többváltozós analízis előismeretek 61
2.12. Vektor- és mátrixnormák, vektor- és mátrixsorozatok 64
2.13. Fixpont tétel n-dimenzióban 71
2.14. Newton-módszer n-dimenzióban 75
2.15. Kvázi-Newton módszerek, Broyden-módszer 76
3. Lineáris egyenletrendszerek 83
3.1. Lineáris algebrai előismeretek 83
3.2. Trianguláris egyenletrendszerek 87
3.3. Gauss-elimináció, főelemkiválasztási stratégiák 89
3.4. Gauss Jordan-elimináció 99
3.5. Tridiagonális egyenletrendszerek 101
3.6. Szimultán egyenletrendszerek 102
3.7. Mátrix invertálás 103
4. Lineáris egyenletrendszerek megoldása iterációs módszerekkel 105
4.1. Lineáris fixpont iteráció 105
4.2. Jacobi-iteráció 110
4.3. Gauss-Seidel-iteráció 113
4.4. Relaxációs módszerek 116
4.5. Hibabecslés, iteratív finomítás 119
4.6. Lineáris egyenletrendszerek perturbációja 123
5. Mátrix faktorizáció 127
5.1. LU-faktorizáció 127
5.2. Cholesky-faktorizáció 130
5.3. Householder-transzformáció 133
6. Mátrixok sajátértékszámítása 139
6.1. Mátrix normálformák, szinguláris értékek 139
6.2. Sajátértékek eloszlása, a sajátértékfeladat perturbációja 146
6.3. Hatványmódszer 151
6.4. Sturm-sorozat 159
6.5. QR-módszer 165
7. Interpoláció
7.1. Lagrange-interpoláció 173
7.2. Osztott differenciák 181
7.3. A Lagrange-féle interpolációs polinom Newton-féle alakja 183
7.4 Csebisev-interpoláció 188
7.5. Hermite-interpoláció 194
7.6. Spline interpoláció 199
7.7. Trigonometrikus interpoláció 206
7.8. Gyors Fourier-transzformáció 211
8. Numerikus differenciálás és integrálás 219
8.1. Numerikus differenciálás 219
8.2. Richardson-extrapoláció 226
8.3. Newton-Cotes-formulák 229
8.4. Gauss-féle kvadratúra formulák 236
8.5. Euler-Maclaurin formulák 247
8.6. Romberg-integrálás 251
8.7. Adaptív integrálás 252
8.8. Improprius integrálok 256
8.9. Többváltozós integrálok 259
9. Szélsőértékszámítás 263
9.1. Analízis előismeretek 263
9.2. Aranymetszés szerinti keresés módszere 264
9.3. Szimplex módszer 268
9.4. Gradiens módszer 272
9.5. Lineáris egyenletrendszerek megoldása gradiens módszerrel 276
9.6. Newton-módszer 279
9.7. Kvázi-Newton módszerek 281
10. Legkisebb négyzetek módszere 289
10.1. Egyenes illesztése 290
10.2. Polinom illesztése 293
10.3. Nemlineáris függvény illesztése 297
10.4. Trigonometrikus polinom illesztése 300
10.5. Lineáris egyenletrendszerek legkisebb négyzetes megoldása 305
11. Közönséges differenciálegyenletek 311
11.1. Differenciálegyenletek előismeretek 311
11.2. Euler-módszer 313
11.3. A kerekítési hiba hatása az Euler-módszerre 319
11.4. Taylor-módszer 320
11.5. Runge-Kutta-módszerek 324
11.6. Runge-Kutta-Fehlberg-módszer 328
11.7. Többlépéses módszerek 334
11.8. Többlépéses módszerek konvergenciája 340
11.9. Prediktor-korrektor módszerek 345
Irodalomjegyzék 347
Név- és tárgymutató 349

Témakörök