Bevezetés a matematikai analízisbe

Tartalom

1 Halmazelmélet.................... 1
1.1 A matematika módszere és szaknyelve........................1
1.2 Bevezetés, alapfogalmak................................................6
1.2.1 Bevezetés........................................................6
1.2.2 A halmazelmélet alapfogalmai..................................7
1.3 Halmazok közötti műveletek............................................10
1.3.1 Halmazok uniója, metszete és komplementere................11
1.3.2 Halmazok szimmetrikus differenciája..........................14
1.4 Halmazok szorzata, relációk............................................15
1.4.1 Halmazok szorzata..............................................15
1.4.2 Relációk...................................16
1.5 Függvények...................................................22
1.5.1 A függvény fogalma............................................22
1.5.2 Függvények kompozíciója, inverze ............................25
1.5.3 A direkt- és inverz-kép leképezés........................28
1.6 A számosságok..........................................................31
2 A számfogalom és valós függvények.................... 37
2.1 A számfogalom felépítése ..............................................37
2.1.1 Természetes, egész és racionális számok......................37
2.1.2 Valós számok.................................38
2.1.3 Nevezetes azonosságok és egyenlőtlenségek....................43
2.1.4 Komplex számok................................................46
2.2 Valós vektorok, az W tér ..............................................64
2.3 Algebrai struktúrák ....................................................69
2.4 Valós függvények........................................................76
2.4.1 Valós függvények bevezetése........................77
2.4.2 Polinomok' és racionális törtfüggvények........................83
2.4.3 A hatvány, exponenciális és logaritmus függvény..............85
2.4.4 Trigonometrikus függvények és inverzeik......................89
3 Metrikus terek és leképezéseik.................... 95
3.1 Metrikus terek................................................. 95
3.1.1 Példák metrikus terekre.................... 95
3.1.2 Gömb-környezetek metrikus térben.............. 97
3.1.3 Nyílt és zárt halmazok metrikus térben..............103
3.2 Folytonos függvények metrikus téren.................107
3.2.1 Definíciók................ .......108
3.2.2 Az alapműveletek folytonossága................111
3.2.3 Formális szabályok, elemi függvények ..............114
3.2.4 Folytonos függvények alaptulajdonságai...........117
3.3 Határérték................................120
3.3.1 Véges határérték végesben...................121
3.3.2 A végtelen szerepe a határértékeknél.............127
4. Sorozatok és sorok.................... 135
4.1 Sorozatok metrikus terekben .....................135
4.2 Számsorozatok ...........................133
4.2.1 A Bolzano-Weierstrass tétel..................138
4.2.2 Valós Cauchy-sorozatok....................139
4.2.3 Limesz szuperior és limesz inferior..............140
4.2.4 Határérték és műveletek....................142
4.2.5 Sorozatok végtelen határértéke................142
4.2.6 R2-beli sorozatok........................143
4.3 Numerikus sorok............................147
4.3.1 Alapfogalmak..........................147
4.3.2 Konvergencia kritériumok...................152
4.4 Sorozatok és függvények határértéke..................156
5. Differenciálszámítás.................... 161
5.1 Definíciók, értelmezések........................161
5.1.1 Bevezetés, definíciók......................161
5.1.2 Érintő és érintőapproximáció.................174
5.1.3 Sebesség.............................179
5.1.4 Relatív sebesség, elaszticitás....................................181
5.2 Differenciálás, kalkulus.........................183
5.2.1 Formális szabályok.......................183
5.2.2 Speciális függvények differenciálása..............188
5.2.3 A szélsőérték szükséges feltételei...............190
5.3 Középértéktételek............................192
5.3.1 A differenciálszámítás középértéktétele............192
5.3.2 Magasabbrendű approximációk, Taylor-formula.......194
5.3.3 Általánosított középértéktétel, L'Hospital-szabály......199
6. Monoton és konvex függvények.................... 207
6.1 Alaptulajdonságok...........................207
6.1.1 Monoton függvények......................207
6.1.2 Konvex és konkáv függvények.................210
6.2 Differenciálható függvények vizsgálata................217
6.2.1 A monotonitásra vonatkozó feltételek ............217
6.2.2 A szélsőérték elégséges feltételei................220
6.2.3 Differenciálható konvex függvények..............221
6.2.4 Az Euler-szám és az exponenciális függvény.........226
6.2.5 Konvexitási egyenlőtlenségek.................233
6.2.6 Az elaszticitás és a logaritmikus derivált...........235
6.2.7 Kalkulus-összefoglaló......................237
6.2.8 Függvények diszkussziója...................238
7 Antiderivált és differenciálegyenletek.................... 243
7.1 Az antiderivált, határozatlan integrál.................243
7.1.1 Definíciók, elemi tulajdonságok ................243
7.1.2 Parciális integrálás.......................251
7.1.3 Helyettesítéssel való integrálás ................255
7.2 Differenciálegyenletek.........................259
8. Határozott integrál.................... 267
8.1 A Riemann integrál definíciója ....................267
8.2 Integrálhatósági tételek ........................275
8.3 A határozott integrál és a differenciálás ...............281
8.4 Integrálszámítási szabályok, példák..................285
8.5 Improprius integrálok .........................287
8.6 Hatványsorok..............................296
8.6.1 Alapvető tulajdonságok....................296
8.6.2 Példák..............................299
Tárgymutató.................... 301

Témakörök