Bevezetés a differenciálgeometriába

Előszó

Valamikor középiskolás koromban fogalmazódott meg bennem először, hogy mennyivel könnyebb lenne tanulni a könyvekből, ha nem kellene olyan sok, a lényeget elfedő, illetve késleltető szövegen átrágni magam. Azután az egyetemen gondosan jegyzeteltem minden előadáson, és örömmel vettem, hogy igen tömör jegyzeteim komoly népszerűségre tettek szert csoporttársaim körében (nem, nem csak azért, mert az enyém volt az egyetlen teljes jegyzet...). Akkor azután úgy éreztem, hogy középiskolás elképzelésem jó volt, mások is szívesen tanulnak tömör, lényegre törő olvasmányból.
Az a könyv, amelyet most az olvasó a kezében tart, az első komoly próbálkozásom a szerintem hatékony tanulásra alkalmas leírás megvalósítására. Igyekeztem tömör, célratörő és mégis könnyen olvasható lenni, összeegyeztetni az ellentmondani látszó "minél precízebben" matematikai parancsolatot a "minél érthetőbben" emberi kívánsággal. Ez utóbbi kívánalom eredményezte a ma olyan megszokott hivatkozási számok elhagyását és azt, hogy a könyvben minden, ha nincs külön másként jelezve, végtelenszer differenciálható. Ezzel sok-sok analitikus nehézségtől mentesül az olvasó, és reményeim szerint így könnyebb a lényegi konstrukciók és a felépítés megértése.
Eltérve a magyarországi hagyományoktól, a könyv a koordináta módszer helyett a felületeken is a sokaság gondolkodásmódját használja. A differenciálgeometria sok nagynevű és fontos tétele vált csaknem triviálissá ebben a fogalomrendszerben, de nincs kétségem afelől, hogy éppen ezek az eredmények vezettek a koordinátamentes sokaságelmélet modern és hatékony fogalomrendszeréhez.
Szokásos dolog a bevezetőben bizonyos mértékig leírni a könyv tartalmát, rámutatni arra, hogy egyes témák miért maradtak ki, mások miért kerültek bele. Ezúttal ez elmarad, mert nem akarom szubjektív döntéseimet objektív indokok mögé rejteni. A differenciálgeometria hatalmas terület, amelyből igenis válogatni kell, és a válogatás mikéntjét bizonyos kereteken belül elsősorban az ízlés befolyásolja.
E jegyzetről tehát csak annyit most, hogy minden fejezet végén igyekeztem a fontosabb elvont fogalmakra rávilágító konkrét számításokat bemutatni, ami szerintem nagyban hozzájárul a mély fogalmak megértéséhez és megtapasztalásához. A tapasztalást csak önálló feladat megoldással lehetne tovább fokozni, mégsem közlök feladatokat, mert a megoldások kidolgozása már eltérítené e könyvet a céljától, megoldás nélkül viszont könnyen zavart okozhat egy rosszul megértett, vagy különösen egy hibásan megoldott feladat. Vissza