Bevezetés a differenciálgeometriába

Tartalom

Bevezetés. A vektortan elemei.
1. A vektor fogalma 1
2. Vektorok összeadása és kivonása 2
3. Vektorok szétbontása 4
4. Vektorok függése egymástól 6
5. Vektorok skaláris szorzása 7
6. A vektorszorzat 9
7. A térfogatszorzat 11
8. Szétbontási szabály 13
9. Egyéb vektorszorzatok 14
10. A reciprokrendszer 15
11. A vektorok differenciálása skaláris szerint 17
12. A nabla-operátor 19
13. Feladatok és gyakorlatok 20
I. rész. A görbék elmélete.
14. A görbe egyenlete 23
15. A görbe ívhosszúsága 24
16. A görbe érintője 26
17. A főnormális és görbület 28
18. A binormális és görbület 29
19. A görbe főirányai és fősíkjai 29
20. A Frenet-féle formulák 31
21. Példák a görbékre 33
22. A simuló gömb 36
23. A Bertrand-féle görbék 37
24. Példa a Bertrand féle görbére 41
25. Az általános csavarvonal 43
26. A görbe természetes egyenlete 45
27. A görbe alakja egy pontjának környezetében 46
28. A fonálevolvens és fonálevoluta 49
29. A síkevolvens és síkevoluta 51
30. Az izotropikus v. minimális vonalak 53
31. Feladatok és gyakorlatok 54
II. rész. A felületek elmélete.
I. A felület alapmennyiségei.
32. A felület egyenlete és paramétervonalai 56
33. A felület érintősíkja, normálisa és vonaleleme 59
34. A felületi görbe meghatározása 60
35. A felületi görbe fundamentális triédere 62
36. A görbületek és torzió explicit alakja 64
37. A felület organikus görbéi 67
38. Síkgörbék és gömbi görbék 68
39. Meusnier és Lancret tétele 69
40. Példák 72
41. A Dupin-féle indikartix 74
42. Két görbe hajlásszöge 75
43. A Weingarten-féle formulák 78
44. A Gauss-féle formulák 79
45. Feladatok és gyakorlatok 80
II. Főbb vonalak a felületen.
46. A felület aszimptotikus vonalai 82
47. A felület minimális vonalai 84
48. A sík és gömb minimális vonalai 86
49. Izotermikus vonalak 88
50. Konjugált vonalrendszerek 91
51. A görbületi vonalak 92
52. A görbületi vonalak újabb értelmezése 95
53. A karakterisztikus vonalak 96
54. Euler és Bonnet tétele 98
55. A normális változásának projekció-tétele 100
56. Az általánosított Euler- és Bonnet-féle tétel 101
57. Rodrigez formulái 103
58. Feladatok és gyakorlatok 104
III. A felületek leképzése.
59. A felületek leképzése általában 106
60. A felületek területtartó leképzése a síkra 106
61. Forgási felületek területtartó leképzése a síkra 107
62. Síknak területtartó leképzése a síkra 109
63. A gömbnek területtartó leképzése a síkra 110
64. A konformis leképzés 111
65. Síknak síkra való konformis leképzése 113
66. A gömbnek konformis leképzése a síkra 116
67. Feladatok és gyakorlatok 119
IV. A görbület.
68. A terület gömbi pontjai 120
69. Az ellipszoid gömbi pontjai 122
70. A Gauss-féle theorema egregium 124
71. A Mainardi-féle egyenletek 127
72. A felület gömbi leképzése 128
73. A görbületi vonalak újabb meghatározása 130
74. Az állandó görbületű forgási felület 131
75. Minimális forgási felület 133
76. Feladatok és gyakorlatok 135
V. A geodetikus vonal.
77. A geodetikus vonal fogalma 137
78. A differenciálegyenlet újabb levezetése 139
79. A geodetikus vonalak más definiciója 142
80. A forgási felületek geodetikus vonala 144
81. A geodetikus párhuzamosok és a geodetikus parallelkordinátarendszer 147
82. A geodetikus körök és a geodetikus polárkoordinátarendszer 148
83. Az állandó görbületű felületek geodetikus koordinátarendszere 152
84. A geodetikus vonal differenciálegyenletének Gauss-féle alakja 153
85. Az állandó görbületű felületek trigonometriája 155
86. A geodetikus háromszög totalis görbülete 157
87. Felületek geodetikus leképzése 159
88. A Liouville-féle felületek geodetikus vonala 162
89. Geodetikus leképzés a síkra 164
90. Feladatok és gyakorlatok 166
VI. Differenciáloperátorok a felületen.
91. A grandiens adott felületen 167
92. Alkalmazás egyes felületekre 168
93. Adott vektor divergenciája 169
95. Általános vektor rotációja 172
96. Alkalmazás 174
97. A rotáció egyes felületeken 175
98. A geometriai differenciálás a felületen 176
99. Alkalmazás 178
100. Feladatok és gyakorlatok 180
III. Rész. Vonalalakzatok.
I. Vonalfelületek.
101. A vonalfelületek egyenlete és alapmennyiségei 181
102. A vonalfelület oromvonala 182
103. A vonalfelületek aszimptotikus vonalai 184
104. A lefejthető vonalfelületek 186
105. A lefejthető vonalfelületek mint síkok burkolója 187
106. A vonalfelület lefejtése a síkra 189
107. Példák a vonalfelületre 191
108. A térgörbéhez rendelt lefejthető vonalfelületek 194
109. A térgörbével összefüggő nem lefejthető vonalfelületek 196
110. A lefejthető vonalfelületek görbületi vonalai 198
111. Feladatok és gyakorlatok 200
II. Sugárkongruenciák.
112. A sugárkongruenciák 202
113. A kongrugencia alapformulái 202
114. Sannia formulái 203
115. Alkalmazás a felület normálisainak rendszerezése 205
116. A határpontok és fősíkok 206
117. A sugárrendszer gyujtópontjai 208
118. A gyujtófelületek vizsgálata 210
119. Feladatok és gyakorlatok 211
IV. Rész. Differenciáloperátorok a térben.
120. Az általános térbeli koordináták 212
121. A koordinátavonalak és koordinátafelületek adatai 213
122. A skaláris tér és vektortér értelmezése 214
123. Térbeli skaláris függvény gradiense 214
124. A nabla-operátor 217
125. A divergencia általános alakja 219
126. A rotáció általános alakja 221
127. A nabla-operátor alkalmazása összetett kifejezésekre 223
128. Feladatok és gyakorlatok 224
129. Vegyes feladatok és gyakorlatok 225
A feladatok megoldásai 228
Tárgymutató 243

Témakörök