Matematikai analízis I-II.

Tartalom

Az I. kötet tartalomjegyzéke:

Előszó 3
1. Fejezet Halmazok és függvények 4
1.1. Halmaz, halmaz elemei és részhalmaz 5
1.2. Descartes-féle szorzat 7
1.3. Relációk, függvények 8
1.4. A művelet fogalma 10
1.5. Műveletek halmazokkal 11
1.6. Műveletek relációkkal és függvényekkel 12
1.7. Injektív, szürjektív és bijektív függvények 14
1.8. Adott halmaz adott függvény általi képe és inverz képe 16
1.9. A kiválasztási axióma 17
1.10. Bináris (homogén) relációk 18
1.11. Adott halmaz infiuma és szuprémuma 20
1.12. Algebrai struktúrák 21
2. Fejezet Számhalmazok 25
2.1. A valós szám fogalma 25
2.2. A valós számok fontos részhalmazai 30
2.3. Sorozatok Valós számsorozatok 37
2.4. Kardinális számok A számosság fogalma 44
2.5. Improprius számok 49
2.6. A valós számok ábrázolása a számtengelyen 51
3. Fejezet. Számsorok 53
3.1. A sor fogalma és tulajdonságai 53
3.2. Váltakozó előjelű sorok 58
3.3. Abszolút konvergens sorok 60
3.4. Pozitív tagú sorok 65
3.5. Konvergens sorok összege közelítő értékeinek kiszámítása 72
4. Fejezet. Az n-dimenziós euklideszi tér 74
4.1. Az n-dimenziós euklideszi tér 74
4.2. Topológiai foga Rn-ben 78
4.3. Sorozatok az n-dimenziós euklideszi térben 16
4.4. Kompakt halmazok 90
4.5. Konex (összefüggő) halmazok 93
5. Fejezet. Függvények határértéke 96
5.1. Vektorváltozós vektorfüggvény határértéke 96
5.2. Jobb és bal oldali határértékek 102
5.3. Iterált határértékek 104
6. Fejezel. Folytonos függvények 107
6.1. Adott pontban folytonos függvények 107
6.2. Halmazon folytonos függvények 111
6.3. A kontrakció elve (fixpont tétel) 117
6.4. Egyenletesen konvergens folytonos tagú függvénysorozatok és sorok 119
7. Fejezel. Néhány fontos függvénytér 126
7.1. Az Rn-en értelmeden lineáris függvények tere, amelynek értékkészlete Rp 126
7.2. A korlátos függvények tere 131
7.3. Korlatos változású függvények 131
7.4. Az út és görbe fogalma. Rektifikálható görbék 138
7.5. Konvex függvények 142
Irodalom 149

A II. kötet tartalomjegyzéke:

TARTALOMJEGYZÉK
I. Fejezet
Deriváltak és differenciálok 3
1.1. Iránymenti derivált 3
1.2. Parciális deriváltak 5
1.3. A Gateaux-féle differenciál 8
1.4. Frechét-féle differenciál és derivált 9
1.5. Implicit függvények 21
1.6. A derivált és differenciál mértani jelentése 25
2. Fejezet
Magasabb rendű deriváltak és differenciálok 29
2.1. Valós változós valós függvények magasabb
rendű deriváltja és differenciálja 29
2.2. Taylor-féle képlet valós változós valós függvények esetén 30
2.3. Vektor változós valós függvények magasabb rendű
parciális deriváltjai és differenciáljai 35
2.4. Vektor változós valós függvények Taylor képlete 40
3. Fejezet
Valós függvények szélsőértéke 42
3.1. Egy és több valós változós valós függvények helyi
szélsőértékei létezésének szükséges és elégséges feltétele 42
3.2. A helyi szélsőértéke létezésének elégséges feltételei 43
4. Fejezet
Feltételes szélsőértékek 47
4.1. Több valós változós valós függvények feltételes szélsőértékei 48
5. Fejezet
Riemann-Stieltjes-féle integrál 54
5.1. A Riemann-Stieltjes-féle integrál fogalma és
legegyszerűbb tulajdonságai 55
5.2. Darboux-féle összegek 58
5.3. Integrálhatósági kritériumok 61
5.4. Integrálható függvények 66
5.5. Integrálási módszerek 71
5.6. A Riemann-féle integrál két alkalmazása:
A. Sima görbe hossza 74
B. Forgásfelületek felszíne (területe) 77
6. Fejezet
Improprius integrálok 80
6.1. Improprius integrálok értelmezése és legegyszerűbb
tulajdonságai 81
6.2. Improprius integrálok konvergencia kritériumai 83
6.3. Pozitív függvények improprius integrálja 87
Irodalom 92
Tartalomjegyzék 93

Témakörök