Analízis II.

Tartalom

ELSŐ FEJEZET. NUMERIKUS SOROK 1
1.1. A végtelen sor és a konvergencia fogalma 1
1.2. Konvergenciakritériumok 5
1.2.1. Kritériumok általános sorokra 5
1.2.2. Pozitív tagú sorok 7
1.2.3. Váltakozó előjelű sorok 12
1.3. Abszolút és feltételes konvergencia 13
1.4. Műveletek konvergens sorokkal 14
1.4.1. Sorok összege 15
1.4.2. Sorok szorzata 16
1.5. Sorok összegének kiszámítása 17
1.5.1. A pontos összeg 17
1.5.2. Sorok összegének közelítő kiszámítása 17
Az első fejezet összefoglalása 20
Feladatok 21
MÁSODIK FEJEZET. Függvénysorozatok és függvénysorok 29
2.1. A függvénysorozat fogalma 29
2.2. Az egyenletes konvergencia 31
2.3. A függvénysor fogalma 34
2.4. Hatványsorok 37
2.5. A Taylor-sor 45
2.5.1. Nevezetes (Maclaurin) hatványsorok 45
2.6. Fourier-sorok 47
A második fejezet összefoglalása 49
Feladatok 51
HARMADIK FEJEZET. Többváltozós függvények 55
3.1. Kétváltozós függvények 55
3.1.1. A kétváltozós függvény értelmezése 55
3.1.2. A kétváltozós függvény ábrázolása 57
3.1.3. Felületek egyenletének felírása, nevezetes felületek 60
3.2. A kétváltozós függvény határértéke és folytonossága 62
3.3. A parciális derivált 63
3.3.1. Többszörös parciális derivált 65
3.3.2. Differenciálási szabályok 66
3.4. Az iránymenti derivált 67
3.5. A teljes differenciál 68
3.6. Felület érintősíkja 70
3.7. A többváltozós függvény 71
3.8. Kétváltozós függvény szélsőértéke 72
3.9. Feltételes szélsőérték 77
3.10. Kétváltozós függvény integrálja 79
3.10.1. A térfogat mint kettős integrál 80
3.10.2. A kettős integrál kiszámításának módja 81
A harmadik fejezet összefoglalása 85
Feladatok 86
NEGYEDIK FEJEZET. KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 91
4.1. A differenciálegyenlet fogalma és osztályozása 91
4.1.1. A differenciálegyenlet 91
4.1.2. A kvadratúra 92
4.1.3. A differenciálegyenletek osztályozása 93
4.2. A differenciálegyenlet megoldása 95
4.2.1. A megoldás fogalma és létezése 95
4.2.2. A differenciálegyenletek megoldásának módszerei 98
4.3. Elsőrendű differenciálegyenletek 100
4.3.1. Szétválasztható változójú differenciálegyenlet 100
4.3.2. Változókban homogén differenciálegyenlet 102
4.3.3. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet 104
4.4. Másodrendű differenciálegyenletek 108
4.4.1. Általános ismeretek 109
4.4.2. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek 110
4.4.3. A másodrendű lineáris differenciálegyenlet 113
4.5. Magasabbrendű, állandó együtthatós differenciálegyenletek 126
A negyedik fejezet összefoglalása 127
Feladatok 128
ÖTÖDIK FEJEZET. PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 131
5.1. Alapfogalmak 131
5.1.1. Definíció 131
5.1.2. Az osztályozás szempontjai 131
5.1.3. A parciális differenciálegyenlet megoldása 132
5.2. Másodrendű parciális differenciálegyenletek 134
5.2.1. Osztályozás 134
5.2.2. Kanonikus alakok 135
5.2.3. Néhány gyakorlati alkalmazás 136
Az ötödik fejezet összefoglalása 139
HATODIK FEJEZET. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 141
6.1. A komplex függvénytan elemei 141
6.1.1. Alapfogalmak 141
6.1.2. Komplex változós függvények 141
6.2. A FOURIER-transzformáció 143
6.3. A LAPLACE-transzformáció 143
6.3.1. Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltja 144
6.3.2. Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek) 145
6.4. Példák 149
6.5. Gyakorlatok 153

Témakörök