Analízis II.

Tartalom

Bevezetés 5
Fontosabb jelölések és rövidítések 6
Irodalom 9
I. Fejezet. A IK^n TÉR TOPOLÓGIÁJA. FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYSOROK 11
1. A IK^n tér 11
1.1 Topológiai alapfogalmak IK^n-ben 11
1.2 A nyilt és a zárt halmazok tulajdonságai 18
1.3 Sorozatok IK^n-ben, határérték, teljesség 21
1.4 Kompakt halmazok 28
Feladatok 34
2. Folytonosság 36
2.1 A IK^n --> IK ^m tipusu függvények folytonossága, határértéke 36
2.2 A folytonos függvények tulajdonságai 43
2.3 Kontrakciós leképezések, fixponttétel 5I
2.4 Egységosztás 54
Feladatok 57
3. Függvénysorozatok és függvénysorok 62
3.1 Függvénysorozat fogalma és konvergenciája 62
3.2 Fourier sorok 74
Feladatok 89
II. Fejezet. TÖBBVÁLTOZÓS DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK. VONALINTEGRÁL. TÖBBSZÖRÖS INTEGRÁLOK 93
4. Többváltozós függvények differenciálása 93
4.1 A differenciálhatóság fogalma. Néhány alapvető tulajdonság 93
4.2 Müveletek differenciálható függvényekkel 98
4.3 Iránymenti derivált, parciális differenciálhatóság 100
4.4 A differenciálszámítás középérték tétele 106
4.5 Többször differenciálható függvények 107
4.6 Többváltozós függvényekre vonatkozó Taylor-formula 112
4.7 Parainéteres integrál 114
4.8 Többváltozós függvények szélsőértékei 116
4.9 Inverz függvény 121
4.10 Implicit függvény 124
4.11 Feltételes szélsőérték 128
4.12 A Cauchy-Riemann egyenletek 132
Feladatok 135
5. Vonalintegrál 141
5.1 Sima ut, szakaszonként sima ut. Tartomány 141
5.2 A vonalintegrál értelmezése 144
5.3 Primitiv függvény 148
5.4 Komplex függvények vonalintegrálja 154
Feladatok 157
6. Többszörös integrálok 159
6.1 A többszörös integrál fogalma 159
6.2 Az integrál kiszámitása. Integrálás normál tartományon 165
6.3 Inteeráltranszformáció 171
6.4 A többszörös integrálok alkalmazásai 176
Feladatok 184
7. Felület, felületi integrál, felszin 189
7.1 Az érintőtér fogalma 189
7.2 Differenciálformák 194
7.3 Felszin, felületi integrál 203
7.4 Stokes-tétel 209
Feladatok 216
III. Fejezet. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 221
8. Közönséges differenciálegyenletek 222
8.1 Bevezető feladatok 222
8.2 Egy egzisztencia tétel 224
8.3 Egy unicitási tétel 230
8.4 Lineáris differenciálegyenlet rendszerek 234
8.5 Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek 240
8.6 Elemien integrálható differenciálegyenletek 248
8.7 Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet 251
9. A rezgő hur problémája 257
Feladatok 261

Témakörök