Analízis I.

Tartalom

ELSŐ FEJEZET. VEKTOROK 1
1.1. A vektor 1
1.1.1. A vektor, abszolút értéke, műveletek 1
1.1.2. Műveletek vektorokkal 2
1.2. Vektor megadása koordinátákkal 6
1.2.1. A vektor mint számhármas 6
1.2.2. Vektorműveletek koordinátákkal 8
1.3. Geometriai alakzatok megadása vektorokkal 14
1.3.1. Az egyenes egyenletei 14
1.3.2. A sík egyenletei 16
1.4. Néhány geometriai feladat 18
1.4.1. Két pont távolsága 18
1.4.2. Egyenes és sík döféspontja 19
1.4.3. Két sík által közrezárt szög 19
1.4.4. Két egyenes szöge 20
1.4.5. Egyenes és sík szöge 20
1.4.6. Pont és egyenes távolsága 21
1.4.7. Két sík metszésvonala 22
Az első fejezet összefoglalása 22
Feladatok 26
MÁSODIK FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA 29
2.1. A számfogalom 29
2.1.1. Az egész számok halmaza 29
2.1.2. A racionális számok halmaza 30
2.1.3. A valós számok halmaza 31
2.2. A valós számhalmaz néhány fontos tulajdonsága 33
2.2.1. A valós számhalmaz mint test 33
2.2.2. Rendezettség a valós számhalmazban 34
2.2.3. Az abszolút érték 34
2.2.4. Számhalmaz korlátossága 35
2.2.5. Az intervallum 36
2.2.6. Távolság 37
2.2.7. Környezet, nyílt és zárt halmazok 38
2.3. Halmazok számossága 39
2.3.1. Megszámlálható halmazok 39
A második fejezet összefoglalása 42
Feladatok 43
HARMADIK FEJEZET. KOMPLEX SZÁMOK 47
3.1. A komplex szám fogalma 47
3.1.1. Műveletek komplex számokkal
3.1.2. A komplex szám mint gyök 51
3.1.3. A komplex számok ábrázolása 52
3.1.4. A komplex szám abszolút értéke 53
3.2. A komplex számok trigonometrikus alakja 55
3.2.1. Műveletek 56
3.3. A komplex szám exponenciális alakja 58
3.3.1. Műveletek 59
A harmadik fejezet összefoglalása 61
Feladatok 63
NEGYEDIK FEJEZET. SZÁMSOROZATOK 67
4.1. A sorozat fogalma és megadási módjai 68
4.1.1. Műveletek sorozatokkal 70
4.2. Sorozatok konvergenciája 72
4.2.1. A határérték 72
4.2.2. A végtelen mint határérték 77
4.2.3. Műveletek konvergens sorozatokkal 78
4.2.4. A határérték kiszámítása 84
4.3. Monoton sorozatok 89
4.4. Nevezetes sorozatok és határértékük 91
4.4.1. A mértani sorozat 91
4.4.2. Az e szám mint határérték 93
4.4.3. Az nV--a sorozat határértéke 95
4.4.4. nV--n határértéke 96
A negyedik fejezet összefoglalása 97
Feladatok 99
ÖTÖDIK FEJEZET. A függvény 103
5.1. A függvény matematikai fogalma 103
5.2. A függvény ábrázolása 105
5.2.1. Descartes-féle koordináták 105
5.2.2. Polárkoordináták 108
5.3. A függvények osztályozása 112
5.4. A függvénnyel kapcsolatos alapfogalmak 114
5.4.1. Korlátosság 114
5.4.2. Szélsőértékhely 115
5.4.3. Monotonitás 116
5.4.4. Tükrözési szimmetriák 117
5.4.5. Periodicitás 118
5.4.6. Az inverz függvény 118
Hz ötödik fejezet összefoglalása 120
Feladatok 121
HATODIK FEJEZET. A függvény határértéke, folytonossága 123
6.1. A véges határérték 123
6.1.1. A véges határérték 123
6.1.2. A végtelen, mint határérték 146
6.1.3. Néhány elemi függvény határértéke 146
6.1.4. Egy fontos speciális eset 147
6.1.5. Összeg, szorzat és hányados határértéke 148
6.1.6. Bal és jobb oldali határérték 149
6.1.7. Határérték a végtelenben 130
6.1.8. A határérték Cauchy-féle definíciója 132
6.2. Függvény folytonossága 132
6.2.1. A folytonosság fogalma 133
6.2.2. Folytonos függvények egy fontos tulajdonsága 134
6.2.3. Az érintő 136
A hatodik fejezet összefoglalása 138
Feladatok 140
HETEDIK FEJEZET. Valós egyváltozós függvények 141
7.1. Elemi függvények 141
7.1.1. Lineáris függvény 141
7.1.2. Reciprok függvény 142
7.1.3. Hatványfüggvény és irracionális függvény 143
7.1.4. Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény 145
7.1.5. Trigonometrikus függvények, szinusz, koszinusz és inverzeik 147
7.1.6. Tangens, kotangens és inverzeik 149
7.1.7. Hiperbolikus függvények és inverzeik 150
7.2. Fontosabb leszármaztatott függvények 155
7.2.1. A leszármaztatás módjai 155
7.2.2. Racionális egész függvények 156
7.2.3. Racionális törtfüggvények 158
7.2.4. Haranggörbe 161
7.2.5. Szakaszonként lineáris függvények 161
7.2.6. Függvények paraméterezése 163
7.2.7. Paraméteres egyenletek 165
A hetedik fejezet összefoglalása 167
NYOLCADIK FEJEZET. Differenciálszámítás 169
8.1. A differenciálhányados (derivált) 170
8.1.1. A differenciahányados 170
8.1.2. A differenciálhányados 171
8.1.3. A differenciálhatóság 173
8.1.4. A differenciálhányados geometriai jelentése 175
8.2. Néhány elemi függvény deriváltfüggvénye 176
8.3. Differenciálási szabályok 178
8.3.1. Függvények összegének, különbségének, szorzatának, hányadosának, konstansszorosának deriváltja 179
8.3.2. Összetett függvény deriváltfüggvénye. Implicit függvények 182
8.3.3. Függvény inverzének a deriváltja 186
8.3.4. További elemi függvények deriváltjai 187
8.4. A differenciál 192
8.5. Magasabbrendű deriváltak 194
8.6. A differenciálszámítás középértéktételei 195
A nyolcadik fejezet összefoglalása 197
Feladatok 199
KILENCEDIK FEJEZET. A differenciálszámítás néhány alkalmazása 203
9.1. Maclaurin- és Taylor-polinom 203
9.1.1. A Maclaurin-polinom 203
9.1.2. A Taylor-polinom 205
9.2. A L'Hospital-szabály 209
9.2.1. „0/0" típusú határozatlan alak 209
9.2.2. „- " típusú alak 211
9.2.3. Más határozatlan formák 214
A kilencedik fejezet összefoglalása 217
Feladatok 217
TIZEDIK FEJEZET. Függvények diszkussziója a deriváltak segítségével 221
10.1. Monoton függvények 221
10.2. A szélsőérték meghatározása 223
10.2.1. A szükséges feltétel 223
10.2.2. Az elégséges feltétel 224
10.3. Konvexség, konkávság, inflexiós pont 228
A tizedik fejezet összefoglalása 233
Feladatok 235
TIZENEGYEDIK FEJEZET. Határozatlan integrál 237
11.1. Bevezetés 237
11.2. Primitív függvény, határozatlan integrál 238
11.3. Alapintegrálok 239
11.4. Integrálási szabályok 240
11.5. Parciális integrálás 242
11.6. Integrálás helyettesítéssel 245
11.7. Racionális törtfüggvény integrálása 248
11.8. A határozatlan integrál néhány sajátsága 252
A tizenegyedik fejezet összefoglalása 253
Feladatok 256
TIZENKETTEDIK FEJEZET. Határozott integrál 261
12.1. Bevezetés 261
12.2. A határozott integrál fogalma 263
12.3. A határozott integrál tulajdonságai 267
12.4. A Newton-Leibniz-formula 270
12.5. Középérték-tétel és integrálfüggvény 272
12.6. Improprius integrálok 274
A tizenkettedik fejezet összefoglalása 277
Feladatok 279
TIZENHARMADIK FEJEZET. A határozott integrál néhány alkalmazása 281
13.1. Területszámítás 281
13.2. A szektor területe 285
13.3. Ívhosszúság kiszámítása 289
13.4. Testek térfogata, forgástest térfogata és felszíne 293
A tizenharmadik fejezet összefoglalása 299
Feladatok 302

Témakörök