Analízis I/2.

Tartalom

1 A határozott integrál 7
Az integrál fogalmára vezető problémák 7
A határozott integrál értelmezése 14
Az integrálhatóság szükséges és elégséges feltételei 17
Oszcillációs összeg 23
Felosztássorozat 25
Integrálközelítő összeg 26
Néhány függvény integráljának közvetlen kiszámítása és alkalmazása 29
Példa nem integrálható függvényre 36
Feladatok 38
2 Integrálhatóságra, integrál értékére vonatkozó tételek 41
Folytonos függvény integrálhatóságra 41
Monoton függvény integrálhatóságra 43
Részintervallumbeli integrálhatóság 46
Az integrál mint additív intervallumfüggvény 47
Integrálhatóságra vonatkozó további tételek 50
Az integrál értékére vonatkozó egyenlőtlenségek 54
Példák 57
Feladatok 62
3 Az integrálás és differenciálás kapcsolata 65
A Newton-Leibniz formula 65
Primitív függvény, határozatlan integrál, integrálfüggvény 67
Alapintegrálok 75
Példák 76
Feladatok 79
4 Integrálási szabályok 83
cf, f+g, fg, f/g integrálhatósága 83
Közvetett függvény integrálhatósága 87
A parciális integrálás, példák 94
A helyettesítéssel való integrálás, példák 96
Racionális törtfüggvények primitív függvényének meghatározása 105
Racionális törtfüggvények integráljára vezető helyettesítések, példák 108
Feladatok 116
5 Improprius integrál 119
Az improprius integrál konvergenciájának értelmezése 119
Improprius integrálokra vonatkozó integrálási szabályok 127
A Cauchy konvergenciakritérium 132
Majorizációs tétel 133
Példák 136
Feladatok 140
6 Az integrál értékére vonatkozó további tételek 143
Az integrál értékére vonatkozó egyenlőtlenségek, középértéktételek 143
Közelítő módszerek a határozott integrál kiszámítására 151
Feladatok 164
7 Az integrálszámítás alkalmazása A/ 167
A Jordan-féle terület és térfogat értelmezése 167
Speciális tartományok területének kiszámítása 170
Forgástest térfogata 174
Az ívhossz értelmezése és kiszámítása 176
Példák 193
Feladatok 202
8 Az integrálszámítás alkalmazásai B/ 205
A Taylor-formula 205
A Wallis-formula 207
A Stirling-formula 210
ex2dx kiszámítása 212
Ortogonális függvényrendszerek 215
A Riemann lemma 219
Az e szám transzcendenciájának bizonyítása 221
Feladatok 225
9 Függelék 229
Az elemi függvények értelmezése integrálon keresztül 229
Racionális törtfüggvény parciális törtekre bontása 235
Az integrálhatóság ekvivalens definíciói 244
Az integrálhatóság Lebesgue-féle szükséges és elégséges feltétele 255
Megjegyzés a mértékről 266
Példa korlátos, de nem integrálható deriváltra 271
Korlátos variációjú függvény. Feladatok 276
A Riemann-Stieljes integrálról. Feladatok 285

Témakörök