Analizis és geometriai alkalmazásai

Tartalom

Előszó III
Hogyan tanuljunk V
Tartalomjegyzék VII
Tárgymutató XIV
I. Bevezetés.
I. FEJEZET.
A függvény és a határérték fogalma.
1. §. A függvényfogalom értelmezése 1
2. §. Függvények ábrázolása 2
3. §. A folytonos függvény 1- 3. tétel 3
4. §. Az abszolút érték 4- 5. tétel 4
5. §. Határértékek 6-7. tétel 4
6. §. Korlátos számsorozatok 8-10. tétel 4
7. §. Határértékek meghatározása. (Az e szám bevezetése.) 7
II. A differenciálhányados és alkalmazása.
II. FEJEZET.
Differenciálási szabályok.
8. §. Egy geometriai probléma (érintő) 11. tétel 13
9. §. Egy mechanikai probléma. (A sebesség) 14
10. §. Hatvány differenciálása 12. tétel 14
11. §. Állandó tényezővel való szorzat differenciálása 13. tétel 15
12. §. Összeg és különbség differenciálása 14. tétel 15
13. §. Az állandó differenciálhányadosa 15. tétel 16
14. §. Szorzat differenciálása 16. tétel 16
15. §. Hányados differenciálása 17. tétel 17
16. §. y=x(-n)=1/xn differenciálása 18. tétel 18
17. §. Racionális egész és tört függvény differenciálása 18
18. §. Az exponenciális függvény differenciálása 19. tétel 19
19. §. A természetes logarithmusokról 19
20. §. A logarithmus differenciálása 20. tétel 20
21. §. Az általános kitevős függvény differenciálása 21. tétel 21
22. §. Közvetett függvények differenciálása 22. tétel 21
23. §. A gyökfüggvény differenciálása 23. tétel 22
24. §. A trigonometrikus függv. diff. 24- 28. tétel 23
25. §. Az inverz függvényekről 29. tétel 26
26. §. Az inverz függvények differenciálása 30. tétel 27
27. §. A cyklometrikus (körmérő) függv. diff. 31- 33. tétel 27
28. §. A logarithmikus differenciálás 28
29. §. A differenciálási szabályok összeállítása 29
39. §. Példák a differenciálás begyakorlására (1-54.) 30
III. FEJEZET.
Magasabb rendű differenciál hányadosok.
31. §. Ismételt differenciálás 34
32. §. A második diffh. mechanikai jelentése 35
33. §. A trigonometr. függv. magasabb rendű differenc. hányadosai 34., 35. tétel 35
34. §. A szorzat magasabb rendü differenciál hányadosai (LEIBNIZ szabálya) 36. tétel 36
35. §. Néhány szó a nem diff. ható függvényekről 37
IV. FEJEZET.
A függvény összefüggése differenciálhányadosaival.
Véges TAYLOR-sor.
36. §. A függvény emelkedése és esése 37. tétel 38
37. §. A második diffh. geometriai jelentésé 38. tétel 38
38. §. A ROLLE-féle tétel 39. tétel 39
39. §. A középérték tétel 40., 41. tétel 39
40. §. A véges TAYLOR-sor 42. tétel 40
41. §. Az elemi függvények sorbafejtése 43- 47. tétel 42
I. Az exponenciális függvény, II. sin x, III. cos x, IV. log (1 + x) sorbafejtése. A binomiális sor.
V. FEJEZET.
Határozatlan alakok meghatározása.
42. §. A 0/0 alak (L'HOSPITAL szabálya) 48. tétel 48
VI. FEJEZET.
Maximum-minimumok.
45. §. Maximumok és minimumok meghatározása 50. tétel 52
46. §. Szélső értékek további vizsgálata. (Inflexiós pontok) 51., 52. tétel 52
47. §. Példák a szélső értékek megvizsgálására (1-11.) 53
VII. FEJEZET.
Görbe vonalak vizsgálata
48. §. Érintő és normális (parabola, expón, görbe) 53., 54. tétel 56
49. §. Asymptoták (hyperbola, ex, tgx, logx, folium) 55., 56. tétel 58
50. §. Görbe vonalak érintkezése 60
51. §. A görbületi kör (kör, ellipszis) 57. tétel 60
52. §. A görbe parameteres egyenlete (kör, ellipszis, cyklois) 58. tétel 61
53. §. Polárkoordinaták (archimédeszi és logarithmikus spirális, lemniszkáta) 59.,
60. tétel 64
III. Többváltozós függvények.
VIII. fejezet.
Többváltozós függvények differenciálása.
54. §. Több változós függvények 68
55. §. Parciális differenciálhányadosok 68
56. §. Magasabb rendű parciális diffh.-ok 61. tétel 69
57. §. A differenciál 70
58. §. Magasabb rendű differenciálok 71
59. §. Több változós függv. teljes differenciálja 62. tétel 72
60. §. Implicit függv. differenciálása 63. tétel 72
61. §. Közvetett függvények differenciálása 64. tétel 73
62. §. Több változós függv. TAYLOR sora 65. tétel 74
63. §. Több változós függv. szélső értékei 66., 67. tétel 75
64. §. Feltételes szélső értékek (kitérő egyenesek legrövidebb távolsága) 76
IX. fejezet.
Több változós függv. geometriai alkalmazása.
65. §. A síkgörbe érintő és normálisa (ellipszis, folium) 68. tétel 78
66. §. A görbe szinguláris pontjai (folium, cissois, y2 = x3 - x2, cyklois, lemniszkáta) 79
67. §. Görbesereg burkoló ja (körsor, astrois) 69. tétel 81
IV. Integrálok. Végtelen sorok.
X. fejezet.
A határozatlan integrál.
68. §. A primitív függvény 70. tétel 83
69. §. A határozatlan integrál 84
70. §. Integrálási alapképletek 85
71. §. Összeg integrálása 71. tétel 85
72. §. Az állandó tényező kiemelése 72., 73. tétel 85
73. §. Integrálás szubsztitúcióval 74., 75. tétel 86
20 példa.
74. §. A parciális integrálás módszere 76. tétel 89
8 példa.
XI. FEJEZET.
A végtelen sorokról.
A) Numerikus sorok.
75. §. Az összetartás feltétele 77., 78. tétel 90
76. §. A geometriai sor 79. tétel 92
77. §. Tételek a végtelen sorokról 80-82. tétel 92
78. §. Feltétlen és feltételes összetartás 83. tétel 93
79. §. Pozitív tagú sorok 84-86. tétel 94
80. §. Összetartási feltételek (kritériumok) 87-90. tétel 95
B) Hatványsorok.
81. §. Általános tételek 91-97. tétel 95
82. §. A végtelen TAYLOR- és MAC LAURIN-sor 98. tétel 97
83. §. Az elemi függvények sorbafejtése 99-104. tétel 98
Exponenciális, sinus, cosinus, logarithmikus, binomiális, arcustangens sor.
84. §. A pí-számról 105. tétel 101
XII. fejezet.
A határozott integrál.
85. §. Görbék területe 102
86. §. A parabola területe 103
87. §. A határozott integrál 106. tétel 104
88. §. Határozott integrálok tulajdonságai 107-110. tétel 107
89. §. Határozott integrálok középértéktétele 111. tétel 108
90. §. Az integrál mint határainak függvénye 112. tétel 108
91. §. Az integrál differenciálása 113. tétel 109
92. §. Összefüggés a határozott és határozatlan integrálok között 114. tétel 109
93. §. A primitiv függvény geometriai jelentése 110
94. §. Példák határozott integrálok kiszámítására 110
95. §. Integrálok végtelen határokkal (8 példa) 111
XIII. fejezet.
Az integrálszámítás geometriai alkalmazásai.
96. §. A területszámítás (quadratura), kör, ellipszis, cyklois 115., 116. tétel 113
97. §. Területszámítás polárkoordinátákban. Logarithmikus spirális, cissois,
lemniszkáta 117-119. tétel 115
98. §. Síkgörbe ívhosszúsága. Kör, cyklois, logarithmikus spirális 120-122. tétel 116
99. §. A görbültség. Egyenes, kör, astrois, epi és hypocyklois 123-127. tétel 118
100. §. Az evoluta. Cyklois, logaiithmikus spirális, láncgörbe, tractrix 128-135. tétel 122
XIV. FEJEZET.
Fontosabb integráltipusok.
A) Racionális függvények integrálása.
101. §. A nevező elsőfokú 136. tétel 125
102. §. A nevező másodfokú I. A) B); II. 137., 138. tétel 126
103. §. A nevező magasabbfokú 128
B) Irracionális függvények integrálása.
104. §. Elsőfokú kifejezésekből vont gyökök 128
105. §. Integrálok másodfokú függvények négyzetgyökeivel. I., II. 130
106. §. Másodfokú irracionálitások parciális integrálása 133
C) Transcendens függvények integrálása.
107. §. A transcendens függvényekről 133
108. §. Transcendens differenciálok parciális integrálása 134
109. §. Trigonometrikus függvények integrálása 135
XV. fejezet.
Differenciál egyenletek.
110. §. A diff. egyenlet értelmezése 137
111. §. Elsőrendű diff. egyenletek x vagy y nélkül 139. tétel 138
112. §. A változók szétválasztása 138
113. §. udx + vdy - 0 integrálása 140. tétel 139
114. §. Multiplikátorok 141. tétel 139
115. §. Homogén diff. egyenletek 142. tétel 140
116. §. Elsőrendű lineáris diff. egy. integrálása (váltakozó irányú áram intenzitása) 143. tétel 141
117. §. A BERNOULLi-féle diff. egyenlet 143
118. §. Általános, partikuláris szinguláris megoldások (CLAlRAUT-féle egyenlet)
144. tétel 143
119. §. Lineáris diff. egyenletek 145., 146. tétel 144
120. §. Állandó együtthatójú lin. diff. egyenletek. (Rezgő mozgás egyenlete)
147. tétel 145
121. §. Lineáris teljes egyenlet integrálása. (Kényszerrezgések) 148. tétel 145
122. §. Néhány másodrendű diff. egyenlet. Lecsüggő kötél egyensúlyi helyzete, tautochrona, brachystochrona 147
123. §. Integrálás végtelen sorokkal 149
V. Térgörbék és felületek.
XVI. fejezet.
Az analitikai térgeometria elemei.
124. §. Térbeli koordináták 150
125. §. Két pont távolsága, gömb egyenlete 149-152. tétel 151
126. §. Két egyenes hajlás szöge. Merőleges, párhuzamos egyenesek 153-155. tétel 152
127. §. Távolság vetítése adott egyenesre 153
128. §. A sík egyenlete 156., 157. tétel 153
129. §. Síkok hajlásszöge. Párhuzamos és merőleges síkok 158. tétel 154
130. §. Pont távolsága a síktól 159. tétel 155
131. §. Az egyenes egyenletei 160. tétel 155
132. §. Sík és egyenes hajlásszöge 161. tétel 157
XVII. fejezet.
Térgörbék.
133. §. Felületek és térgörbék egyenletei 162. tétel 157
134. §. Térgörbe érintője és normál síkja 163. tétel 159
135. §. Térgörbe ívhosszúsága 164-165. tétel 160
135. §. Térgörbe simuló síkja 166. tétel 161
137. §. Főnormális, binormális 167. tétel 162
138. §. Első görbületi mérték. Flexió 168. tétel 163
139. §. A második görbület. Torzió 169. tétel 164
XVIII. fejezet.
Felületek.
140. §. Felületek érintősíkja és normálba 170, 171. tétel 167
141. §. Felületek görbülete, meusnier, euler és germain ZSÓFIA tételei 172-175. tétel 168
142. §. A kettős integrál 176., 177. tétel 170
143. §. A súlypont 178. tétel 171
144. §. Köbtartalomszámítás 179., 180. tétel 172
145. §. Forgási test köbtartalma. (GULDIN szabálya) 181. tétel 173
146. §. Felszínmérés 182. tétel 173
147. §. Forgási testek komplanációja. (guldin szabálya) 183. tétel 174
VI. Komplex számok és függvényeik. Közelítő módszerek. A mathematika története.
XIX. fejezet.
Komplex számok és függvényeik.
148. §. A komplex számok értelmezése 184-188. tétel 176
149. §. A komplex számok geometriai ábrázolása 177
150. §. Komplex számok trigonometriai alakja 189-191. tétel 178
151. §. Gyökvonás komplex számokból. Egységgyökök 192. tétel 179
152. §. Komplex tagú végtelen sorok és számsorozatok 193-196. tétel 181
153. §. Komplex változók függvényei 197. tétel 182
154. §. Komplex változó elemi függvényei 198-200. tétel 182
Összefüggés az exponenciális és trigonometrikus függvények között.
XX. fejezet.
Közelítő módszerek.
155. §. Algebrai egyenletek 201-206. tétel 184
156. §. Valós gyökök (Descartes jelszabálya, STURM tétele) 207-208. tétel 186
157. §. Egyenletek közelítő megoldása I. HORNER módszere, II. Regula falsi, III. NEWTON szabálya 187
158. §. Az interpolatio 209. tétel 189
159. §. Integrálok közelítő meghatározása (SIMPSON szabálya) 210. tétel 191
XXI. fejezet.
A mathematika történetének vázlata.
160. §. Néhány szó az ókori mathematikáról 193
161. §. A renaissance mathematika 193
162. §. A tizenhetedik század 194
163. §. A tizennyolcadik század 199
164. §. A tizenkilencedik század 202
Útbaigazítás a továbbtanulásra 209
Ábrák jegyzéke 210

Témakörök